Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 19.4.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 1

Abgabe: Mo, 26.4.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 1. Sei I ⊂ ℝ ein kompaktes Intervall. Beweisen Sie, daß durch

|| . ||_{1} : C^{0}(I) ⟶ ℝ, ||f||_{1} = ∫_{a}^{b} |f|

eine Norm definiert ist (also Positivität, Halblinearität und Dreiecksungleichung). Ist || . ||_{1} eine Norm auf dem Raum R(I)?

Aufgabe 2. Berechnen Sie den von einer Ellipse mit Halbachsen a, b > 0 eingeschlossenen Flächeninhalt, also den Flächeninhalt der Menge

E = \{ (x, y) ∈ ℝ^{2} : (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b} )^{2} ≤ 1 \} ⊂ ℝ^{2} .

Aufgabe 3. Prüfen Sie auf gleichmäßige Konvergenz sowie auf gleichmäßige Konvergenz der Ableitungsfunktionen:

1. f_{n}(x) = \frac{sin(nx)}{n} auf I = [−π, π].

2. f_{n}(x) = n log(1 + x/n) − x auf I = [0, 100].

Aufgabe 4. Sei f ∈ C^{0}(I) mit I = (a, b) offen. Wir betrachten die Funktion

Φ : I ⟶ ℝ, Φ(t) = ∫_{a(t)}^{b(t)} f(x)dx ,

wobei a : I^{∗} ⟶ I und b : I^{∗} ⟶ I differenzierbar sind. Begründen Sie die Differenzierbarkeit von Φ und berechnen Sie die Ableitung.