Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 28.6.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 10

Abgabe: Mo, 5.7.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 37. Man entscheide, welche der folgenden Mengen M Untermannigfaltigkeiten des ℝ^{2} sind. Welche Teilmenge A von M muß man gegebenenfalls mindestens entfernen, sodaß M \ A zur Untermannigfaltigkeit wird?

(a) M = {(x, y) | x^{3} = y^{2}}

(b) M = {(x, y) | y^{2} = x^{3} + x + 1}

(c) M = {(x, y) | (x^{2} + y^{2})^{3} = 4x^{2}y^{2}}

Aufgabe 38. Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x, y) = x^{2} − y^{2} auf der Menge

N = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{3} = y^{2}} .

Aufgabe 39. Seien X und Y endlichdimensionale relle Räume, U ⊂ X eine offene Teilmenge und f : U ⟶ Y eine stetig differenzierbare Abbildung mit überall surjektivem Differential. Man zeige: für jede Untermannigfaltigkeit C ⊂ Y ist ihr Urbild M = f^{−1}(C) eine Untermannigfaltigkeit von X der Dimension dim X − dim Y + dim C.

Aufgabe 40. Man zeige, daß die Funktionaldeterminante der Kugelkoordinatenabbildung K, siehe Aufgabe 23, gegeben wird durch det dK = r^{2} sin ϑ. Salopp gesprochen transformieren sich also Volumenintegrale in Kugelkoordinaten mithilfe der Regel

dx dy dz = r^{2} sin ϑ dr dφ dϑ .

Bitte wenden!

Zwei allgemeine Hinweise Studierende im Bachelorstudiengang Mathematik betreffend:

1. Die Prüfungsanmeldung im Bachelorstudiengang zu den Vorlesungen sowie für die mündlichen Prüfungen in Linearer Algebra und Analysis läuft noch bis zum 04.07.2010.

2. Kommenden Donnerstag, 1.7.2010, bietet um 13:15 Uhr in SR 404 Herr Dr. Junker (Studiengangskoordinator) eine kurze Informationsveranstaltung zur Studienplanung für Studierende im zweiten Semester im Bachelorstudiengang Mathematik an.