Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 5.7.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 11

Abgabe: Mo, 12.7.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 41. In einem kompakten metrischen Raum X sei ein System abgeschlossener Teilmengen K ⊂ P(X) mit leerem Durchschnitt ⋂_{K∈K} K = ∅ gegeben. Man zeige, daß es bereits ein endliches Teilsystem E ⊂ K gibt mit ⋂_{K∈E} K = ∅.

Aufgabe 42. Sei M ⊂ ℝ^{3} eine kompakte 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, A eine orthogonale 3×3-Matrix und A(M) das Bild von M unter der von A induzierten Abbildung. Man zeige, daß

∫_{M} 1 = ∫_{A(M)} 1 .

Aufgabe 43. Sei γ : ℝ ⟶ ℝ^{n} eine periodische stetig differenzierbare Abbildung mit nirgends verschwindendem Differential, sodaß also das Bild M von γ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des ℝ^{n} ist. Bezeichnet a die Periode von γ, so zeige man

∫_{M} 1 = L(γ|_{[0,a]}) .

Aufgabe 44. Für relle Zahlen r, R ∈ ℝ mit 0 < r < R zeige man, daß die Oberfläche des Schwimmrings in ℝ^{3}

T_{R,r} = \{R ( \begin{matrix}cos(t) \\ sin(t) \\ 0 \end{matrix} ) + r ( \begin{matrix}cos(s) cos(t) \\ cos(s) sin(t) \\ sin(s) \end{matrix} ) | s, t ∈ ℝ\}

eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit ist und berechne heuristisch seine Oberfläche.