Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 26.4.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 2

Abgabe: Mo, 3.5.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 5. Geben Sie eine Reihendarstellung der folgenden Funktion an (mit Beweis):

f : ℝ ⟶ ℝ, f(x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin(t^{2})}{t} dt falls x ≠ 0 und f(0) = 0

Aufgabe 6. M(n × n, ℝ) bezeichne die Menge der n × n-Matrizen mit Koeffizienten in ℝ. Zeigen Sie, daß die Funktion

exp : M(n × n, ℝ) ⟶ M(n × n, ℝ), exp(A) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{A^{n}}{n!}

differenzierbar ist bei der Nullmatrix mit Differential d_{0} exp = id.

Aufgabe 7. Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion f : ℝ^{n} ⟶ ℝ, f(x) = |x| differenzierbar ist, und berechnen Sie an diesen Stellen den Gradienten. Hierbei bezeichne |.| die euklidische Norm auf ℝ^{n}. Fertigen Sie eine Skizze für den Fall n = 2 an.

Aufgabe 8. Sei inv : GL(n; ℝ) → M(n × n; ℝ) das Invertieren von Matrizen, inv(X) = X^{−1}. Man zeige für das Differential des Invertierens bei der Einheitsmatrix I die Formel d_{I} inv : H ↦ −H. Man zeige allgemeiner, daß das Differential dieser Abbildung am Punkt P in Verallgemeinerung der Ableitungsregel für x ↦ 1/x gegeben wird durch

\begin{aligned}d_{P} inv : & M(n × n; ℝ) & → & M(n × n; ℝ) \\ & H & ↦ & −P^{−1}HP^{−1} \end{aligned}

Hinweis: Man zeige zunächst, daß inv differenzierbar ist. Dann nehme man in der Gleichung inv(X)X = I auf beiden Seiten das Differential an der Stelle P. Alternative: Man wähle eine Norm auf ℝ^{n} und die zugehörige Matrixnorm auf M(n×n; ℝ) und beachte, daß für alle Matrizen H der Norm < 1 gilt (I −H)(I +H +H^{2}+H^{3} …) = I.