Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 10.5.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 4

Abgabe: Mo, 17.5.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 13. Berechnen Sie f^{(5)}(0) für die Funktion

f : (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ⟶ ℝ, f(x) = \sqrt{1 + sinh(x)} .

Aufgabe 14. Für eine offene Teilmenge U ⊂ ℝ^{n} und eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : U ⟶ ℝ sei der Laplaceoperator definiert als

Δf = \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{∂^{2}f}{∂x_{n}^{2}} .

Zeigen Sie, daß

(Δf)(x) = lim_{ε→0} \frac{2n}{ε^{2}} (\frac{1}{2n}( ∑_{ν=1}^{n} f(x + εe_{ν}) + f(x − εe_{ν})) − f(x)) .

Aufgabe 15. Ist A ∈ O(n) eine orthogonale Matrix und bezeichnet A : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} die zugehörige lineare Abbildung, so zeige man für jede zweimal stetig differenzierbare Funktion f : ℝ^{n} ⟶ ℝ die Formel

Δ(f ∘ A) = (Δf) ∘ A .

Aufgabe 16. Nun sei U ⊂ ℝ^{2} offen und f : U ⟶ ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeigen Sie für x = (x_{1}, x_{2}) ∈ U, daß

(Δf)(x) = lim_{ε→0} \frac{6}{ε^{2}} (\frac{∫_{−ε}^{ε} ∫_{−ε}^{ε} f(x_{1} + t_{1}, x_{2} + t_{2}) dt_{1}dt_{2}}{∫_{−ε}^{ε} ∫_{−ε}^{ε} dt_{1}dt_{2}} − f(x)) .