Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 17.5.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 5

Abgabe: Mo, 31.5.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 17 Man bestimme die kritischen Punkte der folgenden Funktionen f : ℝ^{2} ⟶ ℝ und untersuche sie auf lokale und globale Extrema.

(a) f(x, y) = x + xy + y^{2}

(b) f(x, y) = (2x^{2} + y^{2}) exp(−x^{2} − y^{2})

Aufgabe 18. Die nichtkonstante Funktion f : U ⟶ ℝ sei d-mal stetig differenzierbar auf der offenen Menge U ⊂ ℝ^{n}, mit d ≥ 2. Für einen Punkt p ∈ A schreiben wir

f(p + h) = f(p) + f_{1}(h) + ⋯ + f_{d}(h) + |h|^{d} · ε(h) ,

wobei f_{k}(h) = ∑_{|α|=k} \frac{(∂^{α}f)(p)}{α!}h^{α}, und setzen f_{d+1}(h) = |h|^{d} · ε(h). Sei k_{0} minimal

mit f_{k_{0}} ≠ 0. Man zeige, daß f in p genau dann ein lokales isoliertes Maximum bzw. Minimum besitz, wenn f_{k_{0}} in p ein lokales isoliertes Maximum bzw. Minimum besitz.

Aufgabe 19. Sei A ⊂ ℝ^{n} offen und f : A ⟶ ℝ zweimal stetig differenzierbar. Man zeige für (den nicht notwendigerweise kritischen) Punkt p ∈ A, daß f bei p kein lokales Maximum hat, falls die quadratische Form

q_{p}(h) = \frac{1}{2} ∑ \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} (p)h_{i}h_{j}

positiv semidefinit und verschieden von Null ist.

Aufgabe 20. Bestimmen Sie alle Extremstellen der Funktion

f : [0, 2] × [0, 3] ⟶ ℝ, f(x, y) = 2x^{2} − xy + 2y^{2} − 2x − 7y + 8 .