Prof. Dr. Wolfgang Soergel SoSe 2010 Dr. Bijan Afshordel 31.5.2010

Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II

Blatt 6

Abgabe: Mo, 7.6.2010 bis 9:10 Uhr

Aufgabe 21 Man finde ein Vektorfeld A ≠ 0 auf ℝ\{0} sowie ein Kovektorfeld ω ≠ 0 auf ℝ\{0} mit (λ·) : A ⇝ A und (λ·) : ω ⇝ ω für alle λ ≠ 0.

Aufgabe 22. X und Y seien reelle Räume, U ⊂ X und V ⊂ Y offene Teilmengen und ϕ : U ⟶ V eine differenzierbare Abbildung. Man zeige: Sind η und ω Kovektorfelder auf U bzw. V mit ϕ : η ⇝ ω, sowie A und B Vektorfelder auf U bzw. V mit ϕ : A ⇝ B, so gilt

ϕ : ⟨A, η⟩ ⇝ ⟨B, ω⟩ .

Aufgabe 23. Man zeige, daß die Standardmetrik im xyz-Raum unter den Kugelkoordinaten

K : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}
(r, ϑ, φ) ↦ (r cos φ sin ϑ, r sin φ sin ϑ, r cos ϑ)

verwandt ist zur Metrik

g = dr^{⊗2} + r^{2}dϑ^{⊗2} + (r sin ϑ)^{2}dφ^{⊗2} .

Aufgabe 24. Man zeige, daß der Gradient in Kugelkoordinaten (siehe Aufgabe 23) ausgedrückt wird durch die Formel

gradf = f_{r}∂_{r} + r^{−2}f_{ϑ}∂_{ϑ} + (r sin ϑ)^{−2}f_{φ}∂_{φ} .