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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Saetze und dergleichen

\newtheorem{Satz}{Satz}[subsection]
\newtheorem{Problem}[Satz]{Problem}
\newtheorem{Vermutung}[Satz]{Vermutung}
\newtheorem{Folgerung}[Satz]{Folgerung}
\newtheorem{Proposition}[Satz]{Proposition}
\newtheorem{Korollar}[Satz]{Korollar}
\newtheorem{Lemma}[Satz]{Lemma}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Eins nochmal, aber nummeriert innerhalb der \section
\newtheorem{ESatz}{Satz}[section]

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Definition}[Satz]{Definition}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Eins nochmal, aber nummeriert innerhalb der \section
\newtheorem{EDefinition}[ESatz]{Definition}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Bemerkung}[Satz]{Bemerkung}
\newtheorem{Bemerkungen}[Satz]{Bemerkungen}
\newtheorem{Beispiel}[Satz]{Beispiel}
\newtheorem{Beispiele}[Satz]{Beispiele}
\newtheorem{Ubung}[Satz]{\"{U}bung}
\newtheorem{Ubungen}[Satz]{\"{U}bungen}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzung f"ur Operatornamen
\newcommand{\op}{\operatorname}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzungen f"ur Pfeile
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
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\newcommand{\sra}{\twoheadrightarrow}
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\newcommand{\hla}{\hookleftarrow}
\newcommand{\sira}{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
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\newcommand{\IFF}{\Leftrightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzungen F"ur Griechische Buchstaben
\newcommand{\al}{\alpha}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Blackboardboldface
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% Indizierung
\newcommand{\defind}[1]{{\bf #1}\index{#1}}
\newcommand{\defnoind}[1]{{\bf #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Spezialsymbole f"ur offene und abgeschlossene Teilmengen
\newcommand{\co}{
{\makebox[6mm]{$\subset$\hspace{-1,1ex}\raisebox{0,15ex}{${\scriptstyle
\circ\;}$}}}}
\newcommand{\As}{\;{\mbox {$\subset \hspace{-2,3ex}$  \raisebox{-0,5ex}
{${\large A}$} }}}





\begin{document}

\hline

\vspace{0,25cm}
\begin{tabular}{ll}
{\Large Mathematisches Institut}\phantom{$3^P$}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & Eckerstr.~1 \\
der Universit"at Freiburg        & 79104 Freiburg i.~Br. \\
                                 & B"uro: (0761) 203-5540 \\
{\bf Prof.~Dr.~W.~Soergel}       & \\
{\bf Dr.~G.~H\"ohn}              &
\end{tabular}
\smallskip
\hline

\vspace{0,5cm}
\medskip


{\large \bf "Ubungen zur Topologie II}\hfill
{Wintersemester 2001/2002}\hfill {\large\bf Blatt 1}

\vspace{10mm}

\centerline{\bf Hausaufgaben, Abgabe bis 24.10.01 }


\vspace{5mm}

\noindent {\bf Aufgabe 1:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Gegeben eine Kategorie $\cal{C}$ stelle man
mengentheoretische Bedenken hintenan und betrachte die Kategorie
$\cal{C}^{\wedge}$ mit Funktoren $\cal{C} \ra \{ \text{Mengen}\}$ als
Objekten und nat"urlichen Transformationen als Morphismen.
Man zeige, da"s der kontravariante Funktor
$$\begin{array}{rcl}
h: \cal{C} & \ra &\cal{C}^{\wedge}\\
X &\mapsto &\op{Hom}_{\cal{C}} (X, \quad)
\end{array}$$
volltreu ist, d.h.\ Isomorphismen auf allen Hom-R"aumen induziert.

(Bemerkung: Jede Kategorie $\cal{C}$ besitzt also eine nat"urliche
``Vervollst"andigung'' $\cal{C}^{\wedge}$.)

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 2:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Gegeben ein topologischer Raum $X$ bezeichne $\tilde{S}
X$ den Komplex
$$\ldots \ra S_{2}X \ra S_{1}X \ra S_{0}X \overset{\epsilon}{\ra}
\DZ \ra 0 \ra \ldots $$
mit $\epsilon$ der Augmentation. Die Homologie von $\tilde{S}X$
hei"st die reduzierte Homologie von $X$ und wird abgek"urzt mit
$\tilde{H}_{q}X =H_{q} (\tilde{S} X)$.
Man berechne $H_{q}X$ und $\tilde{H}_{q}X$ f"ur $X$ die disjunkte
Vereinigung vo n$n$ B"allen im $\DR^{N}$.

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 3:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Sei $\cal{C}$ eine Kategorie und $\Delta \in \cal{C}$ ein
Objekt.
Wir betrachten den Funktor
$$\begin{array}{rcl}
\DZ \op{Hom}_{\cal{C}} (\Delta, \quad) : \cal{C} & \ra &
\{\text{Abelsche
Gruppen}\} \\
X & \mapsto & \DZ \op{Hom}_{\cal{C}} (\Delta, X)
\end{array}$$
der jedem $X \in \cal{C}$ die freie abelsche Gruppe "uber der Menge
$\op{Hom}_{C} (\Delta, X)$ zuordnet.
Man zeige, da"s wir f"ur jeden weiteren Funktor $G : \cal{C} \ra
\{\text{Abelsche Gruppen}\}$ eine Bijektion erhalten
$$\begin{array}{ccc}
\op{Nat} (\Bbb{Z} \op{Hom}_{\cal{C}} (\Delta, \quad), G) &\sira & G
(\Delta)\\
\tau &\mapsto &\tau_{\Delta} (\op{id}_{\Delta})
\end{array}$$

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 4:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Die Randoperatoren $\partial : S_{q} X \ra S_{q-1} X$
sind nat"urliche Transformationen $S_{q} \ra S_{q-1}$.
Wie mu"s man $\cal{C}, \Delta, G$ und das Element von $G(\Delta)$
w"ahlen, um sie durch den Formalismus aus der vorhergehenden
"Ubung zu beschreiben?



\vfill



\end{document}



