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%\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Saetze und dergleichen

\newtheorem{Satz}{Satz}[subsection]
\newtheorem{Problem}[Satz]{Problem}
\newtheorem{Vermutung}[Satz]{Vermutung}
\newtheorem{Folgerung}[Satz]{Folgerung}
\newtheorem{Proposition}[Satz]{Proposition}
\newtheorem{Korollar}[Satz]{Korollar}
\newtheorem{Lemma}[Satz]{Lemma}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Eins nochmal, aber nummeriert innerhalb der \section
\newtheorem{ESatz}{Satz}[section]

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Definition}[Satz]{Definition}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Eins nochmal, aber nummeriert innerhalb der \section
\newtheorem{EDefinition}[ESatz]{Definition}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Bemerkung}[Satz]{Bemerkung}
\newtheorem{Bemerkungen}[Satz]{Bemerkungen}
\newtheorem{Beispiel}[Satz]{Beispiel}
\newtheorem{Beispiele}[Satz]{Beispiele}
\newtheorem{Ubung}[Satz]{\"{U}bung}
\newtheorem{Ubungen}[Satz]{\"{U}bungen}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzung f"ur Operatornamen
\newcommand{\op}{\operatorname}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzungen f"ur Pfeile
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\lea}{\leftarrow}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\sra}{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\hra}{\hookrightarrow}
\newcommand{\hla}{\hookleftarrow}
\newcommand{\sira}{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\RA}{\Rightarrow}
\newcommand{\IFF}{\Leftrightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzungen F"ur Griechische Buchstaben
\newcommand{\al}{\alpha}
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\newcommand{\va}{\varphi}
\newcommand{\ga}{{\gamma}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Blackboardboldface
\newcommand{\Bl}[1]{{\mathbb{#1}}}
\newcommand{\DK}{\Bl{K}}
\newcommand{\DC}{\Bl{C}}
\newcommand{\DP}{\Bl{P}}
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\newcommand{\DZ}{\Bl{Z}}
\newcommand{\DN}{\Bl{N}}
\newcommand{\DQ}{\Bl{Q}}

% Indizierung
\newcommand{\defind}[1]{{\bf #1}\index{#1}}
\newcommand{\defnoind}[1]{{\bf #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Spezialsymbole f"ur offene und abgeschlossene Teilmengen
\newcommand{\co}{
{\makebox[6mm]{$\subset$\hspace{-1,1ex}\raisebox{0,15ex}{${\scriptstyle
\circ\;}$}}}}
\newcommand{\As}{\;{\mbox {$\subset \hspace{-2,3ex}$  \raisebox{-0,5ex}
{${\large A}$} }}}





\begin{document}

\hline

\vspace{0,25cm}
\begin{tabular}{ll}
{\Large Mathematisches Institut}\phantom{$3^P$}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & Eckerstr.~1 \\
der Universit"at Freiburg        & 79104 Freiburg i.~Br. \\
                                 & B"uro: (0761) 203-5540 \\
{\bf Prof.~Dr.~W.~Soergel}       & \\
{\bf Dr.~G.~H\"ohn}              &
\end{tabular}
\smallskip
\hline

\vspace{0,5cm}
\medskip


{\large \bf "Ubungen zur Topologie II}\hfill
{Wintersemester 2001/2002}\hfill {\large\bf Blatt 2}

\vspace{10mm}

\centerline{\bf Hausaufgaben, Abgabe bis 29.10.01 }


\vspace{5mm}

\noindent {\bf Aufgabe 1:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Man bestimme die erste Homologiegruppe der Figur 8,
aufgefa"st als Teilmenge der Ebene.

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 2:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Gegeben Punkte $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{q}$ einer
konvexen Teilmenge $K \subset \DR^{N}$ bezeichne $\langle p_{0},
p_{1}, \ldots , p_{q} \rangle : \Delta_{q} \ra K$ den $q$-Simplex
$(x_{0}, \ldots , x_{q}) \mapsto x_{0}p_{0} + \ldots +x_{q}p_{q}$.
Bezeichne $\op{e}_{0}, \ldots, \op{e}_{q}$ die Standardbasis von
$\DR^{q+1}$. Man zeige, da"s m"ogliche $V_{q}$ f"ur den Beweis der
Homotopie-Invarianz gegeben werden als die Summe in
$S_{q+1}
(\Delta_{q} \times [0,1])$ der
$$(-1)^{i} \langle (\op{e}_{0}, 0),
(\op{e}_{1},0), \ldots , (\op{e}_{i},0), (\op{e}_{i},1), \ldots ,
(\op{e}_{q},1)
\rangle$$
f"ur $0 \leq i \leq q$.

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 3:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Die folgenden Funktoren von den
Raumpaaren in die abelschen Gruppen
sind nat"urlich "aquivalent:
\begin{enumerate}
\item
$(X,A) \mapsto H_{0} (X,A)$
\item
$(X,A) \mapsto $  \{Die freie abelsche Gruppe "uber der Menge aller
der Wegzusammenhangskomponenten von $X$, die $A$ nicht treffen\}.
\end{enumerate}

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 4:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Seien $f,g : (X,A) \ra (Y,B)$ zwei Morphismen zwischen
Raumpaaren.
Eine {\bf Homotopie von $f$ nach $g$}
ist ein Morphismus von Raumpaaren $H : (X\times I, A \times I) \ra
(Y,B)$
derart, da"s gilt $H \circ i_{0} = f$ und $H\circ i_{1} = g$.

Man zeige:
Sind zwei Morphismen $f,g : (X,A) \ra (Y,B)$ homotop, so induzieren sie
dieselben Abbildungen $H_{q}f= H_{q}g : H_{q} (X,A) \ra H_{q} (Y,B)$ auf
den
relativen Homologiegruppen.




\vfill








\end{document}



