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\textwidth 16cm

%\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Saetze und dergleichen

\newtheorem{Satz}{Satz}[subsection]
\newtheorem{Problem}[Satz]{Problem}
\newtheorem{Vermutung}[Satz]{Vermutung}
\newtheorem{Folgerung}[Satz]{Folgerung}
\newtheorem{Proposition}[Satz]{Proposition}
\newtheorem{Korollar}[Satz]{Korollar}
\newtheorem{Lemma}[Satz]{Lemma}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Eins nochmal, aber nummeriert innerhalb der \section
\newtheorem{ESatz}{Satz}[section]

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Definition}[Satz]{Definition}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Eins nochmal, aber nummeriert innerhalb der \section
\newtheorem{EDefinition}[ESatz]{Definition}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Bemerkung}[Satz]{Bemerkung}
\newtheorem{Bemerkungen}[Satz]{Bemerkungen}
\newtheorem{Beispiel}[Satz]{Beispiel}
\newtheorem{Beispiele}[Satz]{Beispiele}
\newtheorem{Ubung}[Satz]{\"{U}bung}
\newtheorem{Ubungen}[Satz]{\"{U}bungen}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzung f"ur Operatornamen
\newcommand{\op}{\operatorname}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzungen f"ur Pfeile
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\lea}{\leftarrow}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\sra}{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\hra}{\hookrightarrow}
\newcommand{\hla}{\hookleftarrow}
\newcommand{\sira}{\stackrel{\sim}{\rightarrow}}
\newcommand{\da}{\downarrow}
\newcommand{\ua}{\uparrow}
\newcommand{\RA}{\Rightarrow}
\newcommand{\IFF}{\Leftrightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Abk"urzungen F"ur Griechische Buchstaben
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\va}{\varphi}
\newcommand{\ga}{{\gamma}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Blackboardboldface
\newcommand{\Bl}[1]{{\mathbb{#1}}}
\newcommand{\DK}{\Bl{K}}
\newcommand{\DC}{\Bl{C}}
\newcommand{\DP}{\Bl{P}}
\newcommand{\DR}{\Bl{R}}
\newcommand{\DZ}{\Bl{Z}}
\newcommand{\DN}{\Bl{N}}
\newcommand{\DQ}{\Bl{Q}}

% Indizierung
\newcommand{\defind}[1]{{\bf #1}\index{#1}}
\newcommand{\defnoind}[1]{{\bf #1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Spezialsymbole f"ur offene und abgeschlossene Teilmengen
\newcommand{\co}{
{\makebox[6mm]{$\subset$\hspace{-1,1ex}\raisebox{0,15ex}{${\scriptstyle
\circ\;}$}}}}
\newcommand{\As}{\;{\mbox {$\subset \hspace{-2,3ex}$  \raisebox{-0,5ex}
{${\large A}$} }}}





\begin{document}

\hline

\vspace{0,25cm}
\begin{tabular}{ll}
{\Large Mathematisches Institut}\phantom{$3^P$}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad & Eckerstr.~1 \\
der Universit"at Freiburg        & 79104 Freiburg i.~Br. \\
                                 & B"uro: (0761) 203-5540 \\
{\bf Prof.~Dr.~W.~Soergel}       & \\
{\bf Dr.~G.~H\"ohn}              &
\end{tabular}
\smallskip
\hline

\vspace{0,5cm}
\medskip


{\large \bf "Ubungen zur Topologie II}\hfill
{Wintersemester 2001/2002}\hfill {\large\bf Blatt 3}

\vspace{10mm}

\centerline{\bf Hausaufgaben, Abgabe bis 12.11.01 }


\vspace{5mm}

\noindent {\bf Aufgabe 1:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Sei gegeben ein Diagramm mit kurzen exakten Zeilen der Gestalt

$$\begin{array}{ccccc}
A_{3} & \hookrightarrow &B_{3} & \twoheadrightarrow & C_{3}\\
\downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\
A_{2} &\hookrightarrow &B_{2} &\twoheadrightarrow &C_{2}\\
\downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\
A_{1} &\hookrightarrow &B_{1}& \twoheadrightarrow & C_{1}
\end{array}$$
und seien die senkrechten Kompositionen jeweils Null.
Sind zwei der Spalten kurze exakte Sequenzen, so auch die Dritte.

\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 2:}

\vspace{0,25cm}
\noindent a) Eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $A^{\prime}

\hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$ hei"st {\bf
spaltend} genau dann, wenn es einen Isomorphismus $A \sira
A^{\prime} \oplus A^{\prime\prime}$ gibt derart, da"s das folgende
Diagramm kommutiert, mit $a^{\prime} \mapsto (a^{\prime},0)$ und
$(a^{\prime},a^{\prime\prime}) \mapsto a^{\prime\prime}$ in der
unteren Horizontalen:
$$\begin{array}{ccccc}
A^{\prime} &\hookrightarrow & A & \twoheadrightarrow &
A^{\prime\prime}\\
\| & &\downarrow\wr & &\| \\
A^{\prime} & \hookrightarrow & A^{\prime}\oplus A^{\prime\prime} &
\twoheadrightarrow & A^{\prime\prime}
\end{array}$$
Man zeige, da"s f"ur eine kurze exakte Sequenz $A^{\prime}
\hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$
gleichbedeutend sind:
\begin{enumerate}
\item Die Sequenz spaltet.
\item Die Surjektion $A \twoheadrightarrow A^{\prime\prime}$
besitzt ein Rechtsinverses.
\item Die Injektion $A^{\prime} \hookrightarrow A$ besitzt ein
Linksinverses.
\end{enumerate}
Man nennt auch ganz allgemein eine Surjektion, die ein
Rechtsinverses besitzt eine \defind{spaltende Surjektion} und eine
Injektion, die ein Linksinverses besitzt, eine \defind{spaltende
Injektion}.



\vspace{0,25cm}
\noindent b) Eine abelsche Gruppe $F$ hei"st {\bf frei} genau dann,
wenn sie isomorph ist zur freien abelschen Gruppe $\Bbb{Z} M$
"uber einer geeigneten Menge $M$. Man zeige, da"s jede Surjektion
von einer abelschen Gruppe
auf eine freie abelsche Gruppe spaltet.

\newpage
\noindent {\bf Aufgabe 3:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Sei $X$ ein topologischer Raum und seien $U,V \co X$ zwei
offene
Teilmengen. So haben wir eine lange exakte Sequenz
$$\ldots \ra H_{q} (X,U\cap V) \ra H_{q} (X,U) \oplus
H_{q} (X,V) \ra H_{q}(X,U\cup V) \ra H_{q-1} (X,U \cap V)\ra \ldots$$






\vspace{4mm}

\noindent {\bf Aufgabe 4:}

\vspace{0,25cm}
\noindent Man betrachte im $\Bbb{R}^{3}$ die Vereinigung $V$ von
zwei nicht parallelen Ebenen und bestimme f"ur alle $p \in V$ die
Homologiegruppen $H_{q} (V-p)$.




\vfill
\noindent {\small Sie finden alle "Ubungsbl"atter auch im Internet unter
der Adresse
\newline
{\tt
http://sunpool.mathematik.uni-freiburg.de/home/algebra/TopologieIISeite.html}}










\end{document}



