Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 1 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 14 Okt. 2003

Aufgabe 1 Partition der Eins für ℝ.

1. Sei g : ℝ → ℝ

g(x) := \{ \begin{matrix}exp(−\frac{1}{x}), & x ∈ (0, ∞) \\ 0, & x ∈ (−∞, 0] \end{matrix}

Weisen Sie nach, dass g eine C^{∞} Funktion ist.

2. Mit Hilfe von 1.1, konstruieren Sie eine C^{∞} Funktion f : ℝ → ℝ^{+} ⋃{0} mit

f(x) := \{ \begin{matrix}0, & x ∈ (−∞, 0) \\ 1, & x ∈ (1, ∞) \end{matrix}

3. Mit Hilfe von 1.2, konstruieren Sie C^{∞} Funktionen f_{i} : ℝ → ℝ^{+} ⋃{0}, i ∈ ℤ, mit

f_{i}(x) := \{ \begin{matrix}0, & x ∈ (−∞, i − 2) \\ 1, & x ∈ (i − 1, i) \\ 0, & x ∈ (i + 1, ∞) \end{matrix}

und

∑_{i=−∞}^{∞} f_{2i} ≡ 1.

4. Fertigen Sie eine Skizze (Graph) von den f_{i}.

Aufgabe 2 Stetigkeit in metrischen Räumen

Seien X, Y metrische Räume mit der (jeweils) von der Metrik induzierten Topologie, und sei f : X → Y. Zeigen Sie dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. Für all offenen V ⊆ Y ist f^{−1}(V) offen.

2. Für alle konvergenten Folgen (x_{i})_{i∈ℕ} in X gilt lim_{i→∞} f(x_{i}) = f(lim_{i→∞} x_{i}).

Aufgabe 3 Das Kreuz

Zeigen Sie: M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : |x| = |y|}, mit der induzierten Topologie, ist keine C^{0}-Mannigfaltigkeit.

Aufgabe 4 Homeomorph zu ℝ^{n}\{0}

Sei N = S^{n−1} × ℝ mit der von ℝ^{n+1} induzierten Topologie: wir schreiben S^{n−1} als Teilmenge von ℝ^{n}, und damit liegt S^{n−1} × ℝ in ℝ^{n+1}. Sei M = ℝ^{n}\{0} mit der von ℝ^{n} induzierten Topologie. Konstruieren Sie einen Homeomorphismus h : M → N.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 21.10.2003 bis 9:15.