Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 10 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 21. Dezember 2003

Aufgabe 1 (Definition der äußeren Ableitung) Für ω ∈ Ω^{l}(M) und Vektorfelder X_{0}, X_{1}, …, X_{l} ∈ C^{∞}(T M) sei

T (X_{0}, …, X_{l}) = ∑_{j=0}^{l}(−1)^{j} X_{j}(ω(X_{0}, …, X̂_{j}, …, X_{l})
+ ∑_{0≤j<k≤l}(−1)^{j+k}ω([X_{j}, X_{k}], X_{0}, …, X̂_{j}, …, X̂_{k}, …, X_{l}),

wobei ˆ… bedeutet, dass der Eintrag wegzulassen ist.

(i) Zeigen Sie, dass T in X_{0}, …, X_{l} linear über C^{∞}(M) und alternierend ist.

(ii) Folgern Sie durch Nachrechnen bzgl. der Basisfelder einer Karte, dass gilt: T (X_{0}, …, X_{l}) = dω(X_{0}, …, X_{l}).

Aufgabe 2 (Lemma von Cartan) Seien ω_{1}, …, ω_{k} ∈ Ω^{1}(M) 1-Formen, die in jedem Punkt p ∈ M linear unabhängig sind. Zeigen Sie: sind ϕ_{1}, …, ϕ_{k} ∈ Ω^{1}(M) 1-Formen mit

∑_{i=1}^{k} ϕ_{i} ∧ ω_{i} = 0,

so gibt es Funktionen a_{ij} ∈ C^{∞}(M), 1 ≤ i, j ≤ k, mit a_{ij} = a_{ji} und ϕ_{j} = ∑_{i=1}^{k} a_{ij}ω_{i}.

Aufgabe 3 (Riemannsche Flächen) Sei Σ eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, das heißt Σ besitzt einen zweidimensionalen, reellen Atlas mit Karten

φ : U → φ(U) ⊂ ℝ^{2} ≅ ℂ, φ(p) = x + iy = z,

so dass alle Kartenwechsel holomorph sind. Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Die Abbildung J : T U → T U, J(a\frac{∂}{∂x} + b\frac{∂}{∂y}) = −b\frac{∂}{∂x} + a\frac{∂}{∂y} hängt nicht von der Wahl der Karte ab, das heißt J ist ein glatter (1, 1)-Tensor auf Σ mit J^{2} = −Id.

(b) Sei Ω_{ℂ}^{1}(Σ) der Raum der ℂ-wertigen 1-Formen. Dann gilt die Zerlegung Ω_{ℂ}^{1}(Σ) = Ω_{C}^{1,0}(Σ) ⊕ Ω_{C}^{0,1}(Σ), wobei Ω_{ℂ}^{1,0}(Σ) (bzw. Ω_{ℂ}^{0,1}(Σ)) der Raum der 1-Formen ω mit ω(JX) = iω(X) (bzw. ω(JX) = −iω(X)) ist.

(c) Eine Form ω ∈ Ω_{ℂ}^{1,0}(Σ) hat bzgl. einer Karte φ : U → ℂ eine Darstellung der Form ω = f dz, wobei f : U → ℂ und dz = dx + idy, und ed gilt:

ω geschlossen auf U ⇔ f holomorph.

Bemrkung. Eine ℂ-wertige 1-Form ist vom Typ ω = α + iβ mit α, β ∈ Ω^{1}(Σ). Ihre äußere Ableitung ist gegeben durch dω = dα + idβ.

Aufgabe 4 (Symplektische Vektorräume ) Sei V ein 2n-dim. Vektorraum, und ω ∈ Λ^{2}(V) eine nicht ausgeartete 2-Form, das heißt für alle v ≠ 0 ∈ V existiert ein u ∈ V so dass ω(u, v) ≠ 0.

• Für einen Untervektorraum W ⊂ V sei

W^{⊥ω} := {v ∈ V : ω(v, w) = 0∀ w ∈ W }.

Zeigen Sie: (W^{⊥ω})^{⊥ω} = W, und dim W^{⊥ω}) = 2n − dim (W).

• W heisst isotrop falls ω|_{W ×W} = 0. Zeigen Sie: W ist genau dann isotrop, wenn W ⊂ W^{⊥ω}. Ist W isotrop, so ist dim (W) ≤ n.

• W heisst Lagrangesch, falls W = W^{⊥ω}. Zeigen Sie: dim W = n.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 23.12.2003 bis 9:15.