Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 11 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 2. Januar 2004

Aufgabe 1 (Linsenräumen wieder) Sind die Linsenräume L(p, q) (Aufgabe 2, Serie 4) orientierbar?

Aufgabe 2 (Orientierung komplexer Mannigfaltigkeiten) Fassen Sie A ∈ GL_{n}(ℂ) als reelle 2n × 2n-Matrix auf, indem Sie ℂ^{n} mit ℝ^{2n} über z = x + iy ↦ (x, y) identifizieren. Zeigen Sie, dass gilt:

det_{ℝ^{2n}}(A) > 0.

Dies bedeutet, dass die einer n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit zugrundeliegende 2n-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit orientierbar ist.

Aufgabe 3 (Integral und Teilung der Eins) Sei (η_{i})_{i∈ℕ} Teilung der Eins auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M. Zeigen Sie

∫_{M} ω = ∑_{i∈ℕ}∫_{M} η_{i}ω

für jede integrierbare n-Form ω.

Aufgabe 4 (Zum Satz von Stokes) Sei M = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} < 1\} ∪ \{(cos θ, sin θ) : θ ∈ (0, \frac{π}{2})\}. Bestätigen Sie durch Berechnung der Integrale, dass mit ω = x dy gilt: ∫_{M} dω ≠ ∫_{∂M} ω. Wieso widerspricht das nicht dem Satz von Stokes?

Aufgabe 5 (Tangentielle Vektorfelder auf S^{2}) Beweisen Sie den sogenannten Igelsatz: jedes (glatte) tangentielle Vektorfeld auf S^{2} hat eine Nullstelle. Denn andernfalls existiert ein (glattes) Vektorfeld X : S^{2} → ℝ^{3} mit ⟨X(x), x⟩ = 0 und |X(x)| = 1 für alle x ∈ S^{2}. Zeigen Sie nun:

(i) Für ε > 0 hinreichend klein ist die Abbildung

f_{ε} : S^{2} = S^{2}(1) → S^{2}(r), f_{ε}(x) = x + εX(x) (wobei r = r(ε))

ein Diffeomorphismus.

(ii) Für ω = x ⌊ (dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3}) gilt ∫_{S^{2}(r)} ω = 4π r^{3}.

(iii) ∫_{S^{2}} f_{ε}^{∗}(ω) ist ein Polynom höchstens 4-ten Grades in ε > 0.

Aus (i)-(iii) ergibt sich der gewünschte Widerspruch. Derselbe Beweis zeigt, dass es auf S^{n} für n gerade keine nullstellenfreien Vektorfelder gibt. Dagegen lassen sich auf den Sphären ungerader Dimension relativ leicht solche Felder angeben, vom Typ X(x) = Ax mit A ∈ ℝ^{(n+1)×(n+1)} geeignet.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 13.01.2003 bis 9:15. Eine Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch wünschen wir Ihnnen