Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 12 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 13. Januar 2004

Aufgabe 1 (Satz von Stokes – klassisch) Sei M ⊂ ℝ^{3} eine zweidimensionale kompakte, orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M, Oberflächenelement dμ und positiv orientierter Einheitsnormale ν. Beweisen Sie für ein Vektorfeld X ∈ C^{1}(ℝ^{3}, ℝ^{3}) die Formel

∫_{M}⟨rot X, ν⟩ dμ = ∫_{∂M}⟨X, τ⟩ ds,

wobei ds das Längenelement und τ der positiv orientierte Einheitstangentenvektor von ∂M sind.

Aufgabe 2 (Kohomologie kompakter Mannigfaltigkeiten) Sei M kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit mit dim M = n. Folgern Sie H^{n}(M) ≠ {0} und weiter, dass M nicht zusammenziehbar ist, das heißt es gibt keine Abbildung F ∈ C^{∞}(M × [0, 1], M) mit F (·, 0) = id_{M} und F (·, 1) = const.

Aufgabe 3 (Raumwinkelform) Sei Ω ⊂ ℝ^{3} offen und beschränkt mit glattem Rand, und ω = \frac{x}{|x|^{3}} ⌊ (dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3}). Zeigen Sie:

(i)

∫_{∂Ω} ω = \{ \begin{matrix}4π, & falls 0 ∈ Ω \\ 0, & falls 0 ∉ Ω̄. \end{matrix}

(ii) Bildet p : ∂Ω → S^{2}, x ↦ \frac{x}{|x|}, das Gebiet D ⊂ ∂Ω diffeomorph auf sein Bild p(D) ⊂ S^{2} ab, so gilt

μ(p(D)) = ∫_{D} ω.

Aufgabe 4 (Kohomologie des n-Torus) Betrachten Sie auf dem n-Torus mit der Quotientenprojektion p : ℝ^{n} → ℝ^{n}/ℤ^{n} = T^{n} die eindeutig bestimmten k-Formen ω^{i} mit p^{∗}ω^{i} = dx^{i_{1}} ∧ … ∧ dx^{i_{k}}, wobei i = (i_{1} < … < i_{k}) ∈ I(n, k). Zeigen Sie, dass die zugehörigen Kohomologieklassen in H^{k}(T^{n}) linear unabhängig sind.

Mathematik bietet Perspektiven

Berufsinformationswochen für Mathematiker

Dienstag, 13. 1. 2004 18 Uhr c.t. SR 404 Teilgebiete der Mathematik und Berufsmöglichkeiten: Diskussion mit Freiburger Matheprofessoren Mittwoch, 14. 1. 2004 18 Uhr c.t. SR 404 Alexander Scivos, SAP Mathematiker im IT-Bereich Oliver Kriessl, Institut für Angewandte Mathematik, Universität Freiburg (ab 19.30 Uhr) Erfahrung aus Industrie und Wissenschaft

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Die Veranstaltungsreihe ”Mathematik bietet Perspektiven“ informiert über Berufsfelder und - chanchen für Mathematiker/innen. Sie richtet sich an alle Studierenden des Mathematischen Instituts. Gäste sind selbstverständlich willkommen. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 20.01.2003 bis 9:15.