Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 13 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 21. Januar 2004

Aufgabe 1 (Eindimensionale Mannigfaltigkeiten) Sei (M, g) eine zusammenhängende, eindimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie:

(a) Zu p ∈ M gibt es eine nicht erweiterbare Kurve c ∈ C^{1}((a, b), M) mit ∥c′∥_{g} ≡ 1 und c(0) = p. Diese Kurve ist surjektiv.

(b) Entweder c ist injektiv und damit Isometrie, oder c ist periodisch und liefert eine Isometrie von (ℝ/(Lℤ), dx^{2}) mit M für geeignetes L > 0.

Bemerkung. Jede zusammenhängende, eindimensionale Mannigfaltigkeit ist also diffeomorph zu ℝ oder zu 𝕊^{1}.

Aufgabe 2 (Minkowski-Modell und Poincaré-Modell von ℍ^{n}) Sei ⟨ , ⟩_{L} die Minkowski-Metrik auf ℝ^{n+1}, d.h. ⟨x, y⟩_{L} = −x^{0}y^{0} + ∑_{i=1}^{n} x^{i}y^{i}, und

ℍ^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} : ⟨x, x⟩_{L} = −1, x^{0} > 0}.

Für X, Y ∈ T_{p}ℍ^{n} ⊂ ℝ^{n+1} sei g(X, Y) = ⟨X, Y ⟩_{L}. Zeigen Sie:

(a) (ℍ^{n}, g) ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

(b) Die Abbildung I(x) = −e_{0}−2⟨x+e_{0}, x+e_{0}⟩_{L}^{−1} (x+e_{0}) ist ein Diffeomorphismus von {x ∈ ℝ^{n} : |x| < 1} auf ℍ^{n}, und es gilt

F^{∗}g = \frac{4}{(1 − |x|^{2})^{2}} ∑_{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}.

Aufgabe 3 (Poincaré-Modell und oberes Halbraum-Modell von ℍ^{n}) Betrachten Sie die n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten

(M, g) = (\{x ∈ ℝ^{n} : |x| < 1\}, \frac{4}{(1 − |x|^{2})^{2}} ∑_{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}),

(N, h) = (\{x ∈ ℝ^{n} : x^{n} > 0\}, \frac{1}{(x^{n})^{2}} ∑_{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}).

Zeigen Sie, dass die Inversion I an der Sphäre \{x ∈ ℝ^{n} : |x + e_{n}| = \sqrt{2}\}, also I(x) = −e_{n} + 2|x + e_{n}|^{−2}(x + e_{n}), eine Isometrie I : (N, h) → (M, g) liefert.

Aufgabe 4 (Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf S^{n}) Zeigen Sie, dass die Funktion u : 𝕊^{n} → ℝ, u(x) = ⟨a, x⟩ mit a ∈ ℝ^{n+1}, Lösung der Gleichung −Δ_{𝕊^{n}}u = λu für ein λ ∈ ℝ ist.

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