Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 12 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 28. Januar 2004

Aufgabe 1 (Riemannsche Metrik auf SO(n)) Betrachten Sie ℝ^{n×n} mit dem Skalarprodukt(!) ⟨A, B⟩ = tr (^{t}AB). Zeigen Sie:

1. O(n) = {T ∈ ℝ^{n×n} : ^{t}T T = Id} ist kompakte Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n×n}. Bestimmen Sie den Tangentialraum im Punkt T.

2. Für T ∈ O(n) sind die Abbildungen L_{T} (A) = T A sowie R_{T} (A) = AT Isometrien von ℝ^{n×n}, und insbesondere Isometrien von O(n).

Aufgabe 2 (Ähnlichkeitsklassifikation zweidimensionaler flacher Tori) Sei M = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≥ 1, 0 ≤ x ≤ \frac{1}{2}, y ≥ 0\}. Laut Vorlesung ist jeder flache Torus ähnlich zu einem Torus ℝ^{2}/Γ mit Γ = ℤ · e_{1} ⊕ ℤ · v, v ∈ M. Zeigen Sie:

1. Für v_{i} ∈ M (i = 1, 2) sind die zugehörigen Tori ℝ^{2}/Γ_{i} genau dann ähnlich, wenn v_{1} = v_{2}.

2. Bestimmen Sie die Isometriegruppe für jeden Torus der obigen Form.

Aufgabe 3 (Abstandsfunktion auf zweidimensionalen Kegeln) Sei Γ ⊂ 𝕊^{2} eine eingebettete C^{1}-Kurve der Länge L ∈ (0, ∞). Wir interessieren uns für die Abstandsfunktion d auf dem Kegel K = \{p ∈ ℝ^{3}\\{0\} : \frac{p}{|p|} ∈ Γ\}. Sei p ∈ K gegeben und x = (|p|, 0) ∈ ℝ^{2}. Setze C = {(cos θ, sin θ) ∈ 𝕊^{1} : |θ| < min(π, L/2)}, und wähle eine bogenlängentreue Parametrisierung γ : C → Γ mit γ((1, 0)) = \frac{p}{|p|}. Betrachte die Abbildung

f : V = \{y ∈ ℝ^{2}\\{0\} : \frac{y}{|y|} ∈ C\} → K, f(y) = |y| γ(\frac{y}{|y|}).

Es gilt also p = f(x). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

1. f ist lokal isometrisch, das heißt f^{∗}⟨ , ⟩_{ℝ^{3}} = ⟨ , ⟩_{ℝ^{2}}.

2. d(p, q) = |p − q|_{ℝ^{3}}, falls q = λp mit λ ≥ 0.

3. d(p, q) = \{ \begin{matrix}|x − y|_{ℝ^{2}} & falls q = f(y) für ein y ∈ V, \\ |p|_{ℝ^{3}} + |q|_{ℝ^{3}} & sonst. \end{matrix}

Aufgabe 4 (Warped-Product-Metriken) Seien (M_{i}, g_{i}), i = 1, 2, Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine Riemannsche Metrik g auf M_{1} × M_{2} heißt Warped-Product-Metrik, wenn es eine Funktion f ∈ C^{∞}(M_{1}, (0, ∞)) gibt mit g(x, p) = g_{1}(x) + f^{2}(x)g_{2}(p) für alle (x, p) ∈ M_{1} × M_{2}. Zeigen Sie:

1. d_{g}((x, p), (y, p)) = d_{g_{1}}(x, y).

2. Sei f(x_{0}) = inf_{x∈M} f(x). Dann ist d_{g}((x_{0}, p), (x_{0}, q)) = f(x_{0})d_{g_{2}}(p, q). Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 03.02.2003 bis 9:15.