Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 12 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 9. Februar 2004

Aufgabe 1 (Reelle und komplexe Vektorbündel) Sei π : E → M ein Vektorbündel vom (reellen) Rang m ∈ ℕ. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:

(1) Es gibt einen Schnitt J ∈ C^{∞}(End E) mit J^{2} = −Id_{E}.

(2) Es gibt ein k ∈ ℕ mit m = 2k, und die Strukturgruppe des Bündels ist nach GL_{k}(ℂ) ⊂ Gl_{m}(ℝ) reduzierbar.

Aufgabe 2 (Orientierbarkeit von Vektorbündeln) Sei π : E → M ein Vektorbündel. Überlegen Sie, was eine vernünftige Definition für die Eigenschaft “E ist orientierbar” wäre. Es sollte gelten: M orientierbar ⇔ T M orientierbar.

Aufgabe 3 (Parallelverschiebung auf dem Kegel) Sei K ⊂ ℝ^{3}\{0} der in Aufgabe 3, Serie 14, betrachtete Kegel, mit der lokalen Parametrisierung f : V → K. Sei ∇ die von ℝ^{3} induzierte, kovariante Ableitung auf T K, also ∇_{X}Y = (D_{X}Y)^{⊤}. Zeigen Sie:

(a) Die Parallelverschiebung ist lokal wegunabhängig, genauer: sind γ_{1,2} Wege von p nach q in f(V), so liefert Parallelverschiebung längs γ_{i} denselben Wert.

(b) Geben Sie ein Beispiel, dass die Parallelverschiebung nicht global wegunabhängig ist.

Aufgabe 4 (Whitney-Summe) Seien π_{i} : E_{i} → M zwei Vektorbündel vom Rang k_{i} ∈ ℕ. Als Menge ist die Whitneysumme von E_{1} und E_{2} wie folgt definiert:

E_{1} ⊕ E_{2} = {(v_{1}, v_{2}) ∈ E_{1} × E_{2} : π_{1}(v_{1}) = π_{2}(v_{2})}.

Die Bündelprojektion ist π(v_{1}, v_{2}) := π_{1}(v_{1}) (= π_{2}(v_{2})). Zeigen Sie:

(1) Die Whitney-Summe ist ein lokal triviales Vektorbündel vom Rang k_{1} + k_{2}.

(2) Seien M_{i}, i = 1, 2, Mannigfaltigkeiten und p_{i} : M_{1}×M_{2} → M_{i} die Projektionen auf die Faktoren. Dann ist T (M_{1} × M_{2}) isomorph zu p_{1}^{∗}(T M) ⊕ p_{2}^{∗}(T N).

(3) M × N ist genau dann orientierbar, wenn M und N orientierbar sind.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 10.02.2004 bis 9:15. Dieses Blatt ist freiwillig. Wer es macht, bekommt für richtige Lösungen Bonus-Punkte.