Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 22. Oktober 2003

Aufgabe 1 Komplexer projektiver Raum. Auf X = ℂ^{n+1}\{0} werde die Äquivalenzrelation ∼ definiert durch

z ∼ w ⟺ w = λz für ein λ ∈ ℂ\{0}.

Sei [z] := {w ∈ X : w ∼ z} die Äquivalenzklasse von z, ℂP^{n} := {[z] : z ∈ X} die Menge der Äquivalenzklassen und π : X → ℂP^{n}, z → [z] die kanonische Projektion. Durch die Quotienttopologie wird ℂP^{n} zu einem topologischen Raum. Konstruieren Sie einen 2n-dimensionalen C^{∞} Atlas auf ℂP^{n}. Insbesondere, berechnen Sie (explizit) die Kartenwechseln, und zeigen Sie dass sie C^{∞} Funktionen sind (Hinweis: siehe ℝP^{n} in der Vorlesung).

Aufgabe 2 Stetigkeit und die Quotienttopologie Seien X, Y topologische Räume, und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Sei [z] := {w ∈ X : w ∼ z} die Äquivalenzklasse von z, X/ ∼:= {[z] : z ∈ X} die Menge der Äquivalenzklassen und π : X → X/ ∼, z → [z] die kanonische Projektion, und sei X/ ∼ mit der Quotienttopologie versehen. Sei f : X → Y eine Abbildung mit f(x) = f(y) für alle x, y mit x ∼ y (also, f ist konstant auf jede Fasser). Zeigen Sie:

1. f̃: X/ ∼→ Y durch f̃([x]) = f(x) ist wohl definiert.

2. f ist stetig ⟺ f̃ ist stetig .

Aufgabe 3 Punktkompaktifizierung Sei X eine Menge mit einer Topologie O. Definition: X ist lokal kompakt, falls für jeden Punkt x ∈ X es ein U ∈ O und ein K ⊆ X existieren, so dass U ⊆ K , K kompakt, und x ∈ U. Sei X lokal kompakt und Hausdorffsch. Die Punktkompaktifierung von X ist X̃ = X ∪ {q} (q ∉ X ist ein beliebiger Punkt) mit der Topologie Õ, wobei Õ ist durch

Õ = O ∪ {(X − K) ∪ {q} : K ⊆ X, K kompakt }

gegeben. Zeigen Sie:

1. Õ ist eine Topologie auf X̃.

2. X̃ ist Hausdorffsch.

3. X̃ ist kompakt.

(Zur Erinerung: Eine Teilmenge A ⊆ X ist Kompakt genau dann, wenn jede offene überdeckung von A eine endliche Überdeckung beinhält. Eine offene überdeckung von A ist eine Teilmenge O′ von O so dass A ⊆ ∪_{U∈O′}U.

Aufgabe 4 Hausdorffsch oder nicht?

Sei M = ℝ ∪ {p}, p ein beliebiger Punkt nicht in ℝ. Sei O_{ℝ} die Standard-Topologie auf ℝ. Sei

O = {U∪V : U ∈ O_{ℝ}, V = ø, oder V = {p}∪(W \{0}), wobei W ∈ O_{ℝ}, mit 0 ∈ W }.

1. Zeigen Sie dass O eine Topologie auf M = ℝ ∪ {p} ist.

2. Konstruieren Sie einen C^{0}-Atlas für (M, O).

3. Ist M Haussdorfsch?

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 28.10.2003 bis 9:15.