Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 4 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 6. November 2003

Aufgabe 1 Möbius band

Sei M := ℝ × (−1, 1) und Γ,

Γ := {h ∈ Diff(M) | ∃n ∈ ℤ, mit h(x, y) = (x + n, (−1)^{n}y), ∀(x, y) ∈ M}.

Zeigen Sie.

1. Γ ist eine Gruppe.

2. Γ operiert frei und eigentlich diskontinuerlich auf M.

3. Sei N = M/G. Zeigen Sie: es existiert eine Einbettung (das heisst eine injektive Immersion die einen Homeomorphismus ist) f : N → ℝ^{3}.

4. Skizzieren Sie f(N) ⊂ ℝ^{3}.

Aufgabe 2 Linsenräume

Sei M = S^{3} ⊂ ℂ^{2} und seien p, q ∈ ℕ teilerfremd. Sei Γ die Menge aller h: M → M der Gestalt

h(z_{1}, z_{2}) = (e^{2πi \frac{n}{q}} z_{1}, e^{2πi \frac{np}{q}} z_{2}) , n ∈ \{0, …, q\}.

Zeigen Sie: Γ ist isomorph zu ℤ/qℤ und operiert frei und eigentlich diskontinuierlich auf M. Die Mannigfaltigkeiten L(p, q) := M/Γ heißen Linsenräume.

Aufgabe 3 Weg Liftung Seien X, M topologische Räume, und π : M → X eine Überlagerung. Sei γ : [0, 1] → X ein Weg. Ein Weg γ̃ : [0, 1] → M heisst eine Liftung von γ falls γ = π ∘ γ̃.

1. (Eindeutigkeit) Seien p_{0} ∈ M,x_{0} ∈ X mit π(p_{0}) = x_{0}, und γ : [0, 1] → X ein Weg mit γ(0) = x_{0}. Zeigen Sie: Falls es existiert eine Liftung γ̃ von γ, mit γ̃(0) = p_{0}, dann ist diese Liftung eindeutig.

2. (Existenz) Seien p_{0} ∈ M,x_{0} ∈ X mit π(p_{0}) = x_{0}, und γ : [0, 1] → X ein Weg mit γ(0) = x_{0}. Zeigen Sie: Es existiert eine Liftung γ̃ von γ, mit γ̃(0) = p_{0}.

Aufgabe 4 Überlagerung für den Torus Sei

T = {((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u) : (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]},

wobei a > r > 0 Konstanten sind.

1. Konstruieren Sie einen topologischer Raum X, und eine Überlagerung π : X → T, wobei X einfach zussamenhängend ist (siehe Vorlesung).

2. Sei γ : [0, 1] → T durch

γ(t) = ((a + r cos(4πt)) cos v, (a + r cos(4πt)) sin v, r sin(4πt)),

definiert. Konstruieren Sie eine Liftung von γ (siehe Aufgabe 3).

3. Sei σ : [0, 1] → T durch

σ(t) = ((a + r cos(4πt)) cos(4πt), (a + r cos(4πt)) sin(4πt), r sin(4πt)),

definiert. Konstruieren Sie eine Liftung von σ (siehe Aufgabe 3).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 11.11.2003 bis 9:15.