Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 5 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 12. November 2003

Aufgabe 1 Nirgends verschwindender Vektor auf S^{2n+1}

Sei M := S^{2n+1} ⊂ ℂ^{n+1}. Zu p ∈ S^{2n+1}, t ∈ ℝ, setze c_{p}(t) = cos t + ip · sin t ∈ S^{2n+1}. Zeigen Sie:

1. X(p) = ċ_{p}(0) ist ein nirgends verschwindender Vektor.

2. Das gerade definierte Vektorfeld X ist C^{∞}.

3. Sei H : S^{3} → S^{2} die sog. Hopffaserung:

H(z, w) = \{ \begin{matrix}ϕ_{N}^{−1}(\frac{z}{w}), & w ≠ 0, \\ (0, 0, 1), & w = 0 \end{matrix}

Dann gilt: H ist eine C^{∞} Abbildung, und DH(p) : T_{p}S^{3} → T_{H(p)}S^{2}, ist surjektiv (also H hat rang 2)

4. Für alle x ∈ S^{2} gilt: H^{−1}({x}) ist homeomorph zu S^{1}.

5. Sei H und X wie oben. Berechnen Sie DH(p)(X(p)).

Aufgabe 2 Mannigfaltigkeit als Urbild einem Punkt

Seien M^{m}, N^{n}, P^{p}, C^{∞} Mannigfaltigkeiten der dim. m, n, p. Sei f : M → N eine C^{∞} Abbildung. Ein Punkt x ∈ M heisst kritischer Punkt von f falls Df(x) : T_{x}M → T_{f(x)}N nicht surjektiv ist. Ein Punkt y ∈ N heisst kritischer Wert falls es einen Punkt x ∈ M existiert, mit f(x) = y, wobei x ein kritischer Punkt von f ist. Ein Punkt y ∈ N heisst regulärer Wert von f falls es kein kritischer Wert ist. Ein Punkt x ∈ M heisst regulärer Punkt von f falls es kein kritischer Punkt von f ist. Welche der folgenden Aussagen sind wahr (Beweis bzw. Gegebeispiel).

• Ist x ∈ M regulärer Punkt von f, so ist f(x) regulärer Wert von f.

• f^{−1}(y) eine (m − n)−dimensionale Untermannigfaltigkeit (von M), ⇒ y ist ein regulärer Wert von f.

• y ein reg. Wert von f ⇒ f^{−1}(y) ist eine (m − n)−dimensionale Untermannigfaltigkeit (von M).

• x reg. Punkt von f, f(x) regulärer Punkt von g ⇒ x ist ein regulärer Punkt von g ∘ f.

Aufgabe 3 Vektoren und Rotationssymmetrische Flächen

Sei

M^{n} = {(x, r^{2}(x)α) : x ∈ ℝ, α ∈ S^{n−1}} ⊂ ℝ^{n+1},

wobei r : ℝ → ℝ^{+} ist C^{∞}. Zeigen Sie dass:

1. Seien ϕ_{λ} : U_{λ} → V_{λ} ⊂ ℝ^{n−1} , λ ∈ Λ, die Karten eines C^{∞} Atlas für S^{n−1}, ϕ_{λ}(α) = y ∈ ℝ^{n−1}. Zeigen Sie dass ψ_{λ} : ψ_{λ}^{−1}(W^{λ}) → W^{λ} einen C^{∞} Atlas für M bilden, wobei

ψ_{λ}^{−1}(x, y) = (x, r^{2}(x)ϕ_{λ}^{−1}(y)), und W^{λ} = {(x, y) : x ∈ ℝ, y ∈ V_{λ}}.

2. Seien f, g : M → ℝ die Funktionen f(p) = \sqrt{(p_{2})^{2} + … + (p_{n+1})^{2}}, g(p) = |p_{1}|^{2} + |p_{2}|, für p = (p_{1}, p_{2}, …, p_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1}. Bestimmen Sie die (offenen) Mengen M_{f} ⊂ M, und M_{g} ⊂ M wo die Funktion f bzw. g lokal C^{∞} sind. (Bemerkung: f ist lokal C^{∞} in p ∈ M genau dann wenn, es existiert eine Offene Umgebung U ⊂ M, p ∈ U, so dass f|_{U} ∈ C^{∞}(U).)

3. Seien f, g : M → ℝ wie oben, und Λ = {1, 2}, mit ϕ_{1} = ϕ_{N} : S^{n−1}\{N} → ℝ^{n−1}, ϕ_{2} = ϕ_{S} : S^{n−1}\{S} → ℝ^{n−1}, ϕ_{k}(α) = y ∈ ℝ^{n−1}, k ∈ {1, 2}, die Sterographische Projektionen. Berechenen Sie \frac{∂}{∂x}(f), \frac{∂}{∂y^{i}} (f), und \frac{∂}{∂x}(g), \frac{∂}{∂y^{i}} (g) für i ∈ {1, 2, … n − 1} in den Punkten wo die Funktionen lokal C^{∞} sind.

Aufgabe 4 Vektor felder auf ℝP^{n}

Konstruieren Sie ein C^{∞} Vektorfeld auf ℝP^{n} so dass,

1. a ) X keine Nullstelle hat, falls n ungerade ist.

2. b) X genau eine Nullstelle hat, falls n gerade ist.

Hinweis: Benutzen Sie als Hilfsmittel die Vektorfelder, die in Aufgabe 1 konstruiert worden sind. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 18.11.2003 bis 9:15.