Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 6 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 18. November 2003

Aufgabe 1 (Koordinaten-Vektorfeld auf S^{2}) Auf S^{2} sei φ^{N} : U^{N} = S^{2}\{(0, 0, 1)} → R^{2}, φ^{N}(p) = x ∈ R^{2}, die stereographische Projektion vom Nordpol. Das Vektorfeld X auf S^{2} sei gegeben durch

X(p) = \{ \begin{matrix}\frac{∂}{∂x^{1}} (p) & p ∈ U^{N} \\ 0 & p = (0, 0, 1). \end{matrix}

Zeigen Sie: X ist C^{∞} auf ganz S^{2}. Geben Sie die Integralkurven von X an, und skizzieren Sie deren Verlauf.

Aufgabe 2 (C^{∞}-Vektorfelder) Sei X ∈ C^{0}(T M). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. X ∈ C^{∞}(T M).

2. Für alle offenen V ⊂ M und f ∈ C^{∞}(V) gilt ∂_{X}f ∈ C^{∞}(V).

Dabei ist natürlich (∂_{X}f)(p) = Df(p)X(p).

Aufgabe 3 (Derivationen auf C^{∞}(M)) Sei M eine n-dimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit. Der Raum Der(M) der Derivationen auf C^{∞}(M) ist die Menge aller linearen Abbildungen Δ : C^{∞}(M) → C^{∞}(M), für die die Produktregel gilt:

Δ(fg) = (Δf)g + f(Δg) ∀f, g ∈ C^{∞}(M).

Beweisen Sie: zu jedem Δ ∈ Der(M) gibt es ein Vektorfeld X ∈ C^{∞}(T M) mit Δ(f) = ∂_{X}f für alle f ∈ C^{∞}(M).

Aufgabe 4 (Konforme Abbildungen von Untermannigfaltigkeiten) Seien M ⊂ ℝ^{k}, N ⊂ ℝ^{l} C^{∞}-Untermannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n. f : M → N heisst konform, wenn eine Funktion λ ∈ C^{∞}(M), λ > 0, existiert mit

⟨Df(p)X, Df(p)Y ⟩ = λ^{2}(p)⟨X, Y ⟩ ∀p ∈ M, X, Y ∈ T_{p}M.

Zeigen Sie dass folgende Abbildungen konform sind:

1. Die stereographischen Projektionen ϕ_{N,S} : U_{N,S} → ℝ^{n} (siehe Vorlesung),

2. Die Abbildung σ_{λ} : S^{n} → S^{n} aus Beispiel 2.1

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 25.11.2003 bis 9:15.