Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 7 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 27. November 2003

Aufgabe 1 Killing-Vektorfelder Seien \frac{∂}{∂x^{i}} (p), i = \{1, …, n\}, die Basisfelder der Standardkarte id : ℝ^{n} → ℝ^{n}. Betrachten Sie die Vektorfelder X(p) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{j}^{i} · p^{j} · \frac{∂}{∂x^{i}} (p), wobei A = (a_{j}^{i})_{i,j∈\{1,...n\}} schiefsymmetrisch, sowie Y (p) = \frac{∂}{∂x^{1}} (p) und Z(p) = p^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} (p).

• Zeigen Sie, dass X, Y, Z : M → T M von der Klasse C^{∞} sind.

• Bestimmen Sie für p ∈ ℝ^{n} die Integralkurven ϕ_{p}, ψ_{p}, α_{p} : ℝ → ℝ^{n} von X, Y, Z.

• Zeigen Sie, dass die Abbildungen ϕ_{t} : M → M, ϕ_{t}(x) = ϕ_{x}(t), Isometrien sind. (Bemerkung: ein Vektorfeld mit dieser Eigenschaft heißt Killing-Vektorfeld).

• Sind Y bzw. Z Killing-Vektorfelder? Ist Z ein Killing-Vektorfeld? (Begründen Sie Ihre Antwort).

Aufgabe 2 Lie-Ableitung

Sei A_{X}Y : C^{∞}(M) → ℝ durch

A_{X}Y (f) = lim_{t→0} \frac{Y (p)(f) − (Dϕ_{t})(ϕ_{−t}(p))(Y (ϕ_{−t}(p)))(f)}{t},

definiert, wobei ϕ_{t} : U → ϕ_{t}(U) der lokale Fluss von X ist (Satz 1.5). Zeigen Sie:

• A_{X}Y ist wohldefiniert.

• A_{X}Y = L_{X}Y. Damit ist A_{X}Y ein C^{∞} Vektorfeld. (Definition von L_{X}Y: siehe Vorlesung, Definition 4.8).

Aufgabe 3 Lokaler Fluss Sei c : (−∞, ω) → M eine maximale Integralkurve des C^{∞}-Vektorfelds X auf der Mannigfaltigkeit M. Das heißt: c ist Lösung der Differentialgleichung

c′(t) = X(c(t)) für alle t ∈ (−∞, ω),

und c kann nicht zu einer Lösung der Gleichung auf einem größeren Intervall (−∞, ω̃), also ω̃ > ω, fortgesetzt werden. Zeigen Sie: ist ω < ∞, so gibt es zu jeder kompakten Menge K ⊂ M ein t_{K} < ω, so dass c(t) ∉ K für alle t > t_{K}.

Aufgabe 4 Lokale Koordinaten durch dem Fluss Sei M = ℝ^{n} mit der Karte id : ℝ^{n} → ℝ^{n} und zugehörigen Basis-Vektoren \frac{∂}{∂x^{i}} (p). Sei X : M → T M ein C^{∞} Vektorfeld mit X(0) = \frac{∂}{∂x^{1}} (0). Zeigen Sie, dass es eine Karte ψ : U → V, ψ(p) = y, mit 0 ∈ U gibt, so dass X(p) = \frac{∂}{∂y^{1}} (p) für alle p ∈ U.

Betrachten Sie zur Konstruktion der Koordinaten den (lokalen) Fluss von X. (Bemerkung: Dieses Argument funktioniert analog für ein beliebiges Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit, in der Umgebung eines Punkts p mit X(p) ≠ 0).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 02.12.2003 bis 9:15.