Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 8 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 5. Dezember 2003

Aufgabe 1 Lie-Klammer und Fluss Auf ℝ^{2} seien die Vektorfelder X, Y gegeben durch X(x, y) = (y, − cos x) und Y (x, y) = (y, cos x). Überprüfen Sie, ob die zugehörigen Flüsse ϕ^{X} und ϕ^{Y} kommutieren (das heisst, überprüfen Sie ob ϕ_{t}^{X} ∘ ϕ_{s}^{Y} = ϕ_{s}^{Y} ∘ ϕ_{t}^{X} für alle s, t).

Aufgabe 2 Integral eines Flusses Eine Funktion f : M → ℝ heisst Integral des Flusses ϕ : ℝ × M → M eines Vektorfeldes X ∈ C^{∞}(T M), wenn für jede Flusslinie c(t) = ϕ_{p}(t) gilt: f ∘ c = const.

(a) Zeigen Sie: Ist f : M → ℝ differenzierbar, so gilt:

f Integral ⇔ X(f) = 0.

(b) Sei V ∈ C^{∞}(ℝ^{m}) (”Potential“). Die Newtonsche Bewegungsgleichung

x′′(t) = −∇V (x(t)) ( ∇V (x) = (D_{1}V (x), …, D_{m}V (x) )

lässt sich äquivalent in ein System erster Ordung auf ℝ^{2m} der Form

(x, y)′ = X(x, y)

umformen, indem man die Funktion y := x′ einführt. Bestimmen Sie das Vektorfeld X und zeigen Sie: die ”Energie“ E(x, y) = \frac{1}{2}|y|^{2} + V (x) ist Integral des Flusses von X.

Aufgabe 3 Rationale Flusslinien auf dem Torus Betrachten Sie M = ℝ^{2}/ℤ^{2}, wobei (ℤ^{2}, +) auf ℝ^{2} operiert durch (n, m) · (x, y) = (x + n, y + m), mit der zugehörigen Projektion π : ℝ^{2} → M. Für a ∈ ℝ sei X : M → T M das durch X(π(x, y)) = Dπ(x, y)X̃(x, y) gegebene Vektorfeld, wobei X̃(x, y) = (1, a). Zeigen Sie:

1. Der Fluss von X durch π(p) ist ϕ_{t}(π(p)) = π(p + t(1, a)).

2. a ∈ ℚ genau dann, wenn die Flusslinien von ϕ periodisch sind.

Aufgabe 4 Irrationale Flusslinien auf den Torus Sei M, π ,X wie in Aufgabe 3. Zeigen Sie: Ist a ∈ ℝ\ℚ, so sind die Flusslinien injektiv und dicht in M.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 02.12.2003 bis 9:15.