Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Serie 9 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 13. Dezember 2003

Aufgabe 1 (Dachprodukt von 1-Formen) Zeigen Sie für ω^{1}, …, ω^{k} ∈ Λ^{1}V = V^{∗} folgende Aussagen:

(1) (ω^{1} ∧ … ∧ ω^{k})(v_{1}, …, v_{k}) = det (ω^{i}(v_{j})).

(2) ω^{1}, …, ω^{k} sind genau dann linear unabhängig, wenn ω^{1} ∧ … ∧ ω^{k} ≠ 0.

Aufgabe 2 (Zerlegbare k-Formen) Eine Form ω ∈ Λ^{k}V heißt zerlegbar (oder einfach), falls sie als Dachprodukt von 1-Formen darstellbar ist. Beweisen Sie:

(1) Jede k-Form ist zerlegbar, falls dim V ≤ 3.

(2) e^{1} ∧ e^{2} + e^{3} ∧ e^{4} ∈ Λ^{2}(ℝ^{4}) ist nicht zerlegbar. Dabei sei e^{1}, …, e^{4} die duale Basis zur Standardbasis, also e^{i}(e_{j}) = δ_{j}^{i}.

Aufgabe 3 (Maxwell-Gleichungen) Betrachten Sie auf ℝ^{4} = ℝ × ℝ^{3} die 1-Form A = A_{0} dt + ∑_{i=1}^{3} A_{i} dx^{i}. Definieren Sie E, B : ℝ × ℝ^{3} → ℝ^{3} durch die Gleichung

dA = − ∑_{i=1}^{3} E^{i} dt ∧ dx^{i} + ∑_{i=1}^{3}(−1)^{i−1}B^{i} dxî.

Folgern Sie aus d^{2}A = 0 folgende zwei (von insgesamt vier) Maxwellgleichungen:

div B = 0, \frac{∂B}{∂t} + rot E = 0.

Aufgabe 4 (Lipschitz-Abhängigkeit des Flusses vom Anfangswert) Betrachte auf der offenen Menge Ω ⊂ ℝ^{n} Lösungen γ_{i} : [0, T] → Ω der beiden Anfangswertprobleme

γ′_{i}(t) = X_{i}(γ_{i}(t)), γ_{i}(0) = p_{i} ∈ Ω (i = 1, 2),

Die X_{i} : Ω → ℝ^{n} seien Lipschitzstetig mit Konstante L < ∞. Beweisen Sie:

|γ_{1}(t) − γ_{2}(t)| ≤ e^{LT} (|p_{1} − p_{2}| + T ∥X_{1} − X_{2}∥_{C^{0}(Ω)}).

Hinweis. Verwenden Sie die Gronwallsche Ungleichung.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 16.12.2003 bis 9:15.