Anwesenheitssaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Anw. 1 Dr. M. Simon, 2. November 2005

Aufgabe 1 Produkt Topologie Sei O_{M} eine Topologie auf M, und O_{N} eine Topologie auf N.

1. Sei

O_{M×N} = {∪_{λ∈Λ}B_{λ} × C_{λ} : B_{λ} ∈ O_{M}, C_{λ} ∈ O_{N}},

die sog. Produkttopologie auf M × N. Weisen Sie nach dass O_{M×N} tatsätlich eine Topologie ist.

2. Falls O_{M} und O_{N} Hausdorff sind, dann ist O_{M×N} Hausdorff.

3. Falls B_{M} ein Basis von O_{M} ist, und B_{N} ein Basis von O_{N} ist, dann ist B_{M×N} = {B × C : B ∈ B_{M}, C ∈ B_{N}} ein Basis von O_{M×N}.

4. Falls M, N Mannigfaltigkeiten sind, dann ist M × N (mit der Produkttopologie) eine Mannigfaltigkeit.

Aufgabe 2 Beispiel 1.3 aus der Vorlesung Sei O eine Topologie auf eine Menge X. Weisen Sie nach:

1. Für M ⊂ X, ist O_{M} = {U ∩ M : U ∈ O} eine Topologie auf M.

2. O ist Hausdorff ⟹ O_{M} ist Hausdorff.

3. B ist ein Basis von O ⟹ B_{M} ist ein Basis von O_{M}, wobei B_{M} = {B ∩ M : B ∈ B}.

Aufgabe 3 S^{1} mit zwei Karten Man Zeige:

S^{1} := {(cos θ, sin θ) : θ ∈ [0, 2π)},

ist eine 1-dimensionale C^{∞} Mannigfaltigkeit, die mit zwei karten beschrieben werden kann. Weiterhin gilt: S^{1} ist nicht homeomorph zu ℝ^{1}.