Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Anwesenheitsübungen 4 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 14. Dezember 2005

Aufgabe 1 3-dimensionale Heisenberg-Mannigfaltigkeit

Sei X := ℝ^{3} und Γ,

Γ := \{ ( \begin{matrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) : a, b, c ∈ ℤ\}.

1. Zeigen Sie, dass Γ mit Matrizen multiplikation eine Gruppe bildet.

2. Zeigen Sie, dass durch Γ × X → X mit

( ( \begin{matrix}1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) ) → ( \begin{matrix}x + a \\ y + b \\ z + ay + c \end{matrix} )

eine eigentlich diskontunierliche Gruppenwirkung erklärt ist, die frei operiert. Der Quotient X/Γ heisst 3-dim Heisenberg-Mannigfaltigkeit