Anwesenheitsübungen zur Differentialgeometrie I WS 03/04, Anw. 5 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 14. Dezember 2005

Aufgabe 1 Graph Mannigfaltigkeit Sei M^{m} eine m-dim. C^{∞} Mannigfaltigkeit und f : M^{m} → N^{n} eine glatte Abbildung, wobei die Topologie von einer Metrik induziert ist.

1. Zeigen Sie, dass

graph(f) := {(x, f(x)) : x ∈ M},

eine m dim. C^{∞} Untermannigfaltigkeit von M × N ist.

2. Sei M = ℝ^{n}, N = ℝ. Berechenen Sie die Vektoren Di(p)(\frac{∂}{∂x^{i}} (p)) (Vektoren in ℝ^{n+1}), wobei i : M → ℝ^{n+1} die Inklusionsabbildung ist (siehe Vorlesung) und \frac{∂}{∂x^{i}} (p) die Basis-Vektoren bezüglich die Karten die Sie in 1 gefunden haben sind. Skizze.

3. Sei h : M × N → ℝ eine C^{∞} Funktion. Berechnen Sie \frac{∂}{∂x^{i}} h̃, i ∈ \{1, 2, … n\} für die Karten die Sie in 1 gefunden haben, wobei h̃ : graph(f) → ℝ h̃(x) := h(x, f(x)) ist.