Differentialgeometrie I, WS 05/06, Anwesenheitsübungen 6 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich December 14, 2005

Aufgabe. Seien M^{m} und N^{n} differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n und f : M^{m} → N^{n} eine C^{∞}-Abbildung. Außerdem

ϕ : U → ϕ(U)  Karte für M ,
ψ : V → ψ(U)  Karte für N mit f(U) ⊂ V .

Sei X ein Vektorfeld auf M mit lokaler Darstellung

X(x) = ∑_{i=1}^{m}^{ϕ}X^{i}(x)\frac{^{ϕ}∂}{∂x^{i}} (x) für alle x ∈ U .

Zeigen Sie:

Df(x)(X(x)) = ∑_{j=1}^{n}^{ψ}Y^{j}(y)\frac{^{ψ}∂}{∂x^{j}} (y) ,

wobei y = f(x) und

Y^{j}(y) = a_{ij}(x)X^{i}(x) ,

wobei hier über die doppelt auftretenden Indizes summiert wird (Einsteinsche Summenkonvention), und

(a_{ij}(x))_{j=1,...,n^{i=1,...,n}}

eine Matrix ist mit den Einträgen

a_{ij}(x) = \frac{∂ψ^{j} ∘ f ∘ ϕ^{−1}}{∂x^{i}} (x) .