Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 2 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 2. November 2005

Aufgabe 1 Metrische und induzierte Topologie. Sei (X, d) ein metrischer Raum, und O_{(X,d)} die metrische Topologie auf X (siehe Definition 1.1 aus der Vorlesung). Sei M ⊂ X, (M, d̃) der induzierte metrische Raum, d̃(x, y) := d(x, y) für alle x, y ∈ M, und O_{(M,d̃)} die metrische Topologie auf M, die von (M, d̃) kommt. Schließlich sei O_{M} die induzierte Topologie (von O_{(X,d)}) auf M. Man Zeige: O_{M} = O_{(M,d̃)}.

Aufgabe 2 Stetigkeit und die Quotienttopologie Seien X, Y topologische Räume, und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Sei [z] := {w ∈ X : w ∼ z} die Äquivalenzklasse von z, X/_{∼} := {[z] : z ∈ X} die Menge der Äquivalenzklassen und π : X → X/_{∼}, z → [z] die kanonische Projektion, und sei X/_{∼} mit der Quotienttopologie versehen. Sei f : X → Y eine Abbildung mit f(x) = f(y) für alle x, y mit x ∼ y (also, f ist konstant auf jeder Fasser). Zeigen Sie:

1. f̃: X/_{∼} → Y durch f̃([x]) = f(x) ist wohldefiniert.

2. f ist stetig ⟺ f̃ ist stetig .

Aufgabe 3 Punktkompaktifizierung Sei X eine Menge mit einer Topologie O. Definition: X ist lokal kompakt, falls für jeden Punkt x ∈ X ein U ∈ O und ein K ⊆ X existieren, so dass U ⊆ K , K kompakt, und x ∈ U. Sei X lokal kompakt und Hausdorffsch. Die Punktkompaktifierung von X ist X̃ = X ∪ {q} (q ∉ X ist ein beliebiger Punkt) mit der Topologie Õ, wobei Õ durch

Õ = O ∪ {(X − K) ∪ {q} : K ⊆ X, K kompakt }

gegeben ist. Zeigen Sie:

1. Õ ist eine Topologie auf X̃.

2. X̃ ist Hausdorffsch.

3. X̃ ist kompakt.

(Zur Erinerung: Eine Teilmenge A ⊆ X ist Kompakt genau dann, wenn jede offene Überdeckung von A eine endliche Überdeckung beinhält. Eine offene Überdeckung von A ist eine Teilmenge O′ von O so dass A ⊆ ∪_{U∈O′}U.

Aufgabe 4 Hausdorffsch oder nicht?

Sei M = ℝ ∪ {p}, p ein beliebiger Punkt nicht in ℝ. Sei O_{ℝ} die Standard-Topologie auf ℝ. Sei

O = {U∪V : U ∈ O_{ℝ}, V = ø, oder V = {p}∪(W \{0}), wobei W ∈ O_{ℝ}, mit 0 ∈ W }.

1. Zeigen Sie dass O eine Topologie auf M = ℝ ∪ {p} ist.

2. Konstruieren Sie einen C^{0}-Atlas für (M, O).

3. Ist M Hausdorfsch?

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 8.11.2005 bis 11:15.