Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 11 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 23. Januar 2006

Aufgabe 1 (H^{1}(ℝ^{2}\{0})) Sei c : [0, 2π] → (ℝ^{2}\{0}), c(t) := (cos t, sin t). Dann ist die Abbildung F : H^{(}ℝ^{2}\{0}) → ℝ,

F ([ω]) := ∫_{c} ω,

ein wohldefinierter Isomorphismus.

Aufgabe 2 (Orientierung komplexer Mannigfaltigkeiten) Fassen Sie A ∈ GL_{n}(ℂ) als reelle 2n × 2n-Matrix auf, indem Sie ℂ^{n} mit ℝ^{2n} über z = x + iy ↦ (x, y) identifizieren. Zeigen Sie, dass gilt:

det_{ℝ^{2n}}(A) > 0.

Dies bedeutet, dass die einer n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit zugrundeliegende 2n-dimensionale reelle Mannigfaltigkeit orientierbar ist.

Aufgabe 3 (Zum Beweis des Lemma von Poincaré) Sei α ∈ Ω^{k}((a, b) × M) mit \frac{∂}{∂t}⌊α = 0. Dann gilt \frac{∂}{∂t}⌊(dt ∧ α) = α.

Aufgabe 4 (Zum Beweis des Lemma von Poincaré Teil II) Sei α ∈ Ω^{k}((a, b) × M) mit \frac{∂}{∂t}⌊α = 0. Dann gilt: \frac{∂}{∂t}⌊d_{x}α = 0, und \frac{∂}{∂t}⌊\frac{∂α}{∂t} = 0.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 24.01.2006 bis 11:15.