Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 5 Dr. M. Simon, H. Junginger-Gestrich 25. November 2005

Aufgabe 1 Nirgends verschwindendes Vektorfeld auf S^{2n+1}

Sei M := S^{2n+1} ⊂ ℂ^{n+1}. Zu p ∈ S^{2n+1}, t ∈ ℝ, setze c_{p}(t) = p cos t+ip·sin t ∈ S^{2n+1}. Zeigen Sie:

1. X(p) = ċ_{p}(0) ist ungleich null für alle p ∈ M.

2. Das gerade definierte Vektorfeld X ist C^{∞}.

Aufgabe 2 Äquivalenz von _{2}T_{p}M^{n} und _{1}T_{p}M^{n}

Man beweise, dass die Abbildung ^{p}J_{1,2} : _{1}T_{p}M^{n} → _{2}T_{p}M^{n} (wie in der Vorlesung definiert) linear ist.

Aufgabe 3 Koordinaten Vektoren Sei e_{i}(p) ∈ _{2}T_{p}ℝ^{n}, i = 1, …, n, die Derivation in p gegeben durch e_{i}(p)([f]) = \frac{∂f}{∂x^{i}} (p) für alle f ∈ C_{M}^{∞}(p), wobei \frac{∂f}{∂x^{i}} (p) = lim_{h→0} \frac{f(p+he_{i})−f(p)}{h} die partiellen Ableitungen sind. Man zeige:

1. e_{i}(p) ist eine wohldefinierte Derivation.

2. Sei ϕ : U ⊂ M^{n} → ϕ(U) ⊂ ℝ^{n} eine Karte einer diff. Mannigfaltigkeit M. Dann gilt

Dϕ^{−1}(p)(e_{i}(p)) = \frac{^{ϕ}∂}{∂x^{i}} (ϕ^{−1}(p)),

wobei _{2}T_{p}ℝ^{n}, \frac{^{ϕ}∂}{∂x^{i}} und D sind wie in der Vorlesung definiert.

Aufgabe 4 Vektorfelder auf ℝP^{n}

Konstruieren Sie ein C^{∞}-Vektorfeld X auf ℝP^{n}, so dass

1. X keine Nullstelle hat, falls n ungerade ist.

2. X genau eine Nullstelle hat, falls n gerade ist.

Hinweis: Benutzen Sie als Hilfsmittel die Vektorfelder, die in Aufgabe 1 konstruiert worden sind. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. den Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 29.11.2003 bis 9:15.