Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 10 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 16. Januar 2006

Aufgabe 1 (Maxwell-Gleichungen) Betrachten Sie auf ℝ^{4} = ℝ × ℝ^{3} die 1-Form A = A_{0} dt + ∑_{i=1}^{3} A_{i} dx^{i}. Seien E, B : ℝ × ℝ^{3} → ℝ^{3} durch die Gleichung

dA = − ∑_{i=1}^{3} E^{i} dt ∧ dx^{i} + ∑_{i=1}^{3}(−1)^{i−1}B^{i} dxî

definiert. Folgern Sie aus d^{2}A = 0 folgende zwei (von insgesamt vier) Maxwellgleichungen:

div (B(t_{0}, ·))(x_{0}) = 0, \frac{∂B}{∂t} (t_{0}, x_{0}) + rot (E(t_{0}, ·))(x_{0}) = 0.

Hier sind dxˆ1 = dx^{2} ∧ dx^{3}, dxˆ2 = dx^{1} ∧ dx^{3}, dxˆ3 = dx^{1} ∧ dx^{2}, und für Y : ℝ^{3} → ℝ^{3} ist rot(Y) : ℝ^{3} → ℝ^{3},

rot(Y)(x) := (+\frac{∂Y^{2}}{∂x^{3}} (x) − \frac{∂Y^{3}}{∂x^{2}} (x), −\frac{∂Y^{1}}{∂x^{3}} (x) + \frac{∂Y^{3}}{∂x^{1}} (x), −\frac{∂Y^{1}}{∂x^{2}} (x) + \frac{∂Y^{2}}{∂x^{1}} (x)),

und div(Y) : ℝ^{3} → ℝ,

div(Y)(x) := \frac{∂Y^{1}}{∂x^{1}} (x) + \frac{∂Y^{2}}{∂x^{2}} (x) + \frac{∂Y^{3}}{∂x^{3}} (x).

Aufgabe 2 (Definition der äußeren Ableitung) Für ω ∈ Ω^{l}(M) und Vektorfelder X_{0}, X_{1}, …, X_{l} ∈ C^{∞}(T M) sei

T (X_{0}, …, X_{l}) = ∑_{j=0}^{l}(−1)^{j} X_{j}(ω(X_{0}, …, X̂_{j}, …, X_{l})
+ ∑_{0≤j<k≤l}(−1)^{j+k}ω([X_{j}, X_{k}], X_{0}, …, X̂_{j}, …, X̂_{k}, …, X_{l}),

wobei ˆ… bedeutet, dass der Eintrag wegzulassen ist.

(i) Zeigen Sie, dass T in X_{0}, …, X_{l} linear über C^{∞}(M) und alternierend ist.

(ii) Folgern Sie durch Nachrechnen bzgl. der Basisfelder einer Karte, dass gilt: T (X_{0}, …, X_{l}) = dω(X_{0}, …, X_{l}).

Aufgabe 3 (Pullback Formel) Sei ω eine diff. n-form auf eine n-dim. diff. Mannigfaltigkeit M^{n}. Seien ϕ : U → ϕ(U) und ψ : V → ψ(V) Karten, und

ω = f ^{ϕ}dx^{1} ∧^{ϕ}dx^{2} ∧ … ∧^{ϕ}dx^{n},

auf U, und

ω = f̃ ^{ψ}dx^{1} ∧^{ψ}dx^{2} ∧ … ∧^{ψ}dx^{n},

auf V (f : U → ℝ und f̃: V → ℝ C^{∞} funktionen). Dann gilt f(x) = f̃(x) det(A(x)), für alle x ∈ U ∩ V, wobei (A(x))_{i,j∈{1,...,n}} eine n × n Matrix ist mit Einträgen (A(x))_{ij} = \frac{∂(ψ^{i}∘ϕ^{−1})}{∂x^{j}}(ϕ(x)).

Aufgabe 4 (Vektor Bündel) Sei {U_{α} : α ∈ ℕ} eine offene Überdeckung der diff. Mannig. M^{n} und für all (α, β) ∈ ℕ × ℕ, seien A_{αβ} : U_{α} ∩ U_{β} → Gl(k, ℝ) differenzierbaren Abbildungen, die die Kozykelbedingungen erfüllen (siehe Bemerkung 6.19 von der Vorlesung). Sei

E := (∪_{α∈ℕ}U_{α} × {α} × ℝ^{k})/ ∼,

wobei (p, α, v) ∼ (q, β, w) ⟺ p = q und A_{αβ}(p)w = v (∼ ist eine Äquivelenzrelation mit Äquivelenzklassen [(p, α, v)] := {(q, β, w)|(q, β, w) ∼ (p, α, v)} ). Sei π : E → M, durch π([p, α, v]) = p definiert. Zeigen Sie: es existieren Abbildungen ψ_{α} : π^{−1}(U_{α}) → U_{α} × ℝ^{k}, so dass π : E → M ein k − dim. Vektorbündel über M ist mit Bündelkarten ψ_{α}, und A_{αβ}(p) = A^{ψ_{α}}(p) ∘ (A^{ψ_{β}}(p))^{−1}, wobei A^{ψ_{α}}(p), wie in Definition 6.17 der Vorlesung sind, Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 17.1.2006 bis 11:15.