Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 12 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 24. Januar 2006

Aufgabe 1 ( H^{k}(M × (−1, 1)) ) Man Zeige: H^{k}(M × (−1, 1)) = H^{k}(M), für alle k. Hinweis: Lemma von Poincaré.

Aufgabe 2 (H^{1}(S^{1}) ) Man Zeige: H^{1}(S^{1}) = ℝ. Hinweis: Schreiben Sie S^{1} = U ∪ V (wie in der Vorlesung) und untersuchen Sie die Gleichung dω = 0 auf U und V für ω ∈ Ω^{1}(S^{1}).

Aufgabe 3 (Orientierung einer zussamenhängenden orientierbaren Mannigfaltigkeit) Sei M zussamenhg̈end und orientierbar. Dann gilt: es gibt genau zwei Orientierungen von M.

Aufgabe 4 (Orientierung und Quotientmannigfaltigkeiten) Sei N eine Mannigfaltigkeit, Γ ⊂ Diff(N) eine Gruppe die frei und eigentlich diskontuierlich auf N operiert. Dann sind äquivalent:

• M = N/Γ ist orientierbar.

• N ist orientierbar und Γ operiert orientierungstreu.

Bemerkung: Γ operiert orientierungstreu genau dann, wenn f ist orientierungstreu für alle f ∈ Γ.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. den Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 31.01.2006 bis 11:15.