Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 14 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 13. Februar 2006

Aufgabe 1 (Tangientialebene eines Randpunkts ) Sei M eine Mannigfaltigkeit mit Rand, p ∈ ∂M, und ϕ : U → ϕ(U) eine Karte mit p ∈ U und ϕ(U) offen in H^{n}. Man Zeige:

• Dϕ : T_{p}M → T_{p}H^{n} ist ein Vektorraum Isomorphismus.

• T_{p}H^{n} ist Isomorph zu T_{p}ℝ^{n} (ist isomorph zu ℝ^{n}).

Aufgabe 2 (Rand Vektoren als Kurven ) Sei M eine Mannigfaltigkeit mit Rand, p ∈ M. Zeigen Sie:

{c[γ]|γ zulässige Kurve mit γ(0) = p, c ∈ ℝ}

ist Isomorph zu T_{p}M (siehe Vorlesung für die Definition von zulässige Kurven durch Randpunkten).

Aufgabe 3 ( H^{n}(M) ) Sei M^{n} eine n-dimensionale zusammenhängende orientierte kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand, ∂M = ∅. Zeigen Sie:

• ∫_{M}[ω] := ∫_{M} ω ist wohldefiniert für alle ω ∈ H^{n}(M).

• Es existiert eine C^{1} n-form ω mit dω = 0, und ∫_{M} ω ≠ 0.

• H^{n}(M) ≠ {0}

Aufgabe 4 (Volum der Sphäre) Sei S^{n} die Sphäre, und sei g die Riemannsche metrik auf S^{n} die durch ℝ^{n+1} induziert wird. Berechnen Sie ∫_{S^{n}} 1dμ_{g}(= vol(S^{n})) (Hinweis : Siehe Aufgabe 4, Serie13). Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. den Tag Ihrer bungsgruppe auf jedes Lsungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 14.01.2006 bis 11:15.