Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 3 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 8. November 2005

Aufgabe 1 Zusammenhängend Zeigen Sie dass die folgende Menge M ⊂ ℝ^{n} zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist:

M = \{(x, sin \frac{1}{x}) : 0 < x < 1\} ∪ \{(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1\}.

Aufgabe 2 Polarkoordinaten Sei M die Mannigfaltigkeit ℝ^{3} mit der standard Topologie/differenzierbare Struktur. Sei V = (0, ∞) × (0, 2π) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}), und ψ : V → M,

ψ(r, α, θ) = (r cos θ cos α, r cos θ sin α, r sin θ),

und U := ψ(V). i

1. Bestimmen Sie U.

2. Zeigen Sie, dass ψ : V → U, eine Homoömorphismus ist und, dass ϕ := ψ^{−1}, eine C^{∞} Karte auf M ist.

3. Zeigen Sie: Wenn man ψ̃ : Ṽ → M, Ṽ = (0, ∞) × (0, 2π) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2} + ϵ_{0}), oder Ṽ = (0, ∞) × (0, 2π + ϵ_{0}) × (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) betrachtet (ϵ_{0} > 0),

ψ̃(r, α, θ) = (r cos θ cos α, r cos θ sin α, r sin θ),

dann ist ψ̃ nicht injektiv.

4. Für die Funktion f : M → ℝ (M = ℝ^{3}) gelte auf U die Darstellung f ∘ ϕ^{−1}(r, α, θ) = g(r), mit einer Funktion g : [0, ∞) → ℝ. Formulieren Sie Bedingungen (*) an g so dass: f ∈ C^{1}(M, ℝ) genau dann wenn g die Bedingungen (*) erfüllt .

Aufgabe 3 Riemannsche Zahlenkugel Ersetzt man in der Definition eines C^{∞}-Atlanten den Bildbereich ℝ^{m} durch ℂ^{n} und fordert, dass die Kartenwechsel holomorphe Abbildungen sind, so erhält man den Begriff eines n-dimensionalen komplexen Atlanten und damit auch einer ndimensionalen komplexen Struktur und einer n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung zwischen zwei komplexen Mannigfaltigkeiten heißt dann holomorph, falls sie stetig ist und ihre Kartendarstellungen holomorph sind. Durch die übliche Identifikation von ℂ^{n} mit ℝ^{2n} wird jede n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit zu einer 2n-dimensionalen reellen C^{∞}-Mannigfaltigkeit und jede holomorphe Abbildung zu einer glatten. Sei ϕ^{N} und ϕ^{S} die Stereographische Projektionen von Nord- und Südpol (siehe Vorlesung).

1. Zeigen Sie:

Die Karten ϕ^{N} und \overline{ϕ^{S}}, (der Querstrich bezeichne die komplexe Konjugation) definieren eine 1-dimensionale komplexe Struktur auf S^{2}.

2. ( Die Ein-Punkt-Kompaktifizierung: vgl. Aufgabe 3, Serie 2)

ℂ̂ := ℂ ∪ {∞} werde mit dem Atlas {ϕ_{1}, ϕ_{2}} versehen, wobei ϕ_{1} := Id_{ℂ} ist und ϕ_{2}: ℂ̂ \ {0} → ℂ gegeben ist durch

ϕ_{2}(z) := \{ \begin{matrix}1/z & falls z ∈ ℂ \ \{0\} \\ 0 & falls z = ∞ \end{matrix}

Zeigen Sie: Dieser Atlas macht ℂ̂ zu einer 1-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit (zur Topologie siehe Aufgabe 3, Serie 2).

Bemerkung: ∞ ist als Punkt der nicht zur ℂ gehört zu verstehen. Wir hätten genausogut p anstatt ∞ schreiben können, wobei p ∉ ℂ.

3. Zeigen Sie: Die Abbildung f: S^{2} → ℂ̂, definiert durch

f(x) = \{ \begin{matrix}ϕ^{N}(x) & falls x ≠ (0, 0, 1) \\ ∞ & falls x = (0, 0, 1), \end{matrix}

ist biholomorph (d. h. ist bijektiv und sowohl f als auch die Umkehrabbildung sind holomorph) und als Abbildung zwischen reellen Mannigfaltigkeiten ein Diffeomorphismus.

Aufgabe 4 C^{∞}

1. Zeigen Sie: Ist M eine C^{∞}-Mannigfaltigkeit, p ∈ M und V ⊂ M eine offene Umgebung von p, und ist g ∈ C^{∞}(V, ℝ), so existiert eine offene Menge U mit p ∈ U ⊂ V und eine Funktion f ∈ C^{∞}(M, ℝ), die auf U mit g übereinstimmt.

2. Ist 𝔄 ein m-dimensionaler C^{∞}-Atlas auf dem topologischen Hausdorff-Raum M, so sei

C_{𝔄}^{∞}(M) := {f: M → ℝ | f ∘ ϕ^{−1} ∈ C^{∞}(V, ℝ) für alle ϕ : U → V, ϕ ∈ 𝔄}.

Zeigen Sie: Sind 𝔄_{1}, 𝔄_{2} zwei solche Atlanten, so erzeugen sie genau dann dieselbe C^{∞}-Struktur, wenn C_{𝔄_{1}}^{∞}(M) = C_{𝔄_{2}}^{∞}(M).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 15.11.2003 bis 11:15.