bungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 6 Dr. M. Simon , Hannes Junginger-Gestrich 14. Dezember 2005

Aufgabe 1 (Koordinaten-Vektorfeld auf S^{2}) Auf S^{2} sei φ : U^{N} = S^{2}\{(0, 0, 1)} → ℝ^{2} die stereographische Projektion vom Nordpol. Das Vektorfeld X auf S^{2} sei gegeben durch

X(p) = \{ \begin{matrix}^{φ} \frac{∂}{∂x^{1}} (p) & p ∈ U^{N} \\ 0 & p = (0, 0, 1). \end{matrix}

Zeigen Sie: X ist C^{∞} auf ganz S^{2}. Geben Sie die Integralkurven von X an, und skizzieren Sie deren Verlauf.

Aufgabe 2 (C^{∞}-Vektorfelder) Sei X ∈ C^{0}(T M). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. X ∈ C^{∞}(T M).

2. Für alle offenen V ⊂ M und f ∈ C^{∞}(V) gilt X(f) ∈ C^{∞}(V).

Dabei ist natürlich X(f) : M → ℝ, X(f)(p) := X(p)(f).

Aufgabe 3 Rang Sei f : M^{m} → N^{n} C^{∞}. Der Rang von f in p ist der Rang der Matrix

(\frac{∂ψ^{j} ∘ f ∘ ϕ^{−1}}{∂x^{i}})(ϕ(p))_{j∈\{1,...,n\},i∈\{1,...,m\}},

für beliebige Karten ϕ : U → ϕ(U), ψ : V → ψ(V), p ∈ U, f(U) ⊂ V. Man Zeige:

• Der Rang von f ist wohldefiniert.

• Falls f Rang k in p hat, dann gibt es Koordinaten ϕ : U → ϕ(U), ψ : V → ψ(V), p ∈ U, f(U) ∈ V und Funktionen α^{k+1}, …, α^{n} : ϕ(U) → ψ(V), so dass

ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1}(x^{1}, …, x^{m}) = (x^{1}, …, x^{k}, α^{k+1}(x), …, α^{n}(x)),

fr alle x ∈ ϕ(U).

• Sei p ∈ U, U offen. Falls f Rang k in y fr alle y ∈ U hat, dann gibt es Koordinaten ϕ : U → ϕ(U), ψ : V → ψ(V), p ∈ U, f(U) ∈ V, so dass

ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1}(x^{1}, …, x^{m}) = (x^{1}, …, x^{k}, 0, …, 0),

für alle x ∈ ϕ(U).

Aufgabe 4 (Derivationen auf C^{∞}(M) ) Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

1. Sei v : C̃_{M}^{∞}(p) → ℝ, eine Derivation in p. Zeigen Sie: w : C^{∞}(M) → ℝ, w(f) := v([f]) ist eine wohldefinierte Derivation (auf C^{∞}(M)) in p.

2. Sei w : C^{∞}(M) → ℝ, eine Derivation (auf C^{∞}(M)) in p. Sei v([f]) := w(g), für f : U_{f} → ℝ, f ∈ C_{M}^{∞}(p), wobei g : M → ℝ eine beliebige C^{∞} Funktion mit g|Ũ_{f} = f|Ũ_{f} fr eine Offene Menge Ũ_{f} ⊂ U_{f} (siehe Aufgabe 4.1, Serie 3 für die existenz der Funktion g) ist. Zeigen Sie: v ist eine wohldefinierte Derivation auf C̃_{M}^{∞}(p) in p.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. den Tag Ihrer bungsgruppe auf jedes Lsungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 06.12.2005 bis 11:15.