Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 7 Dr. M. Simon, H. Junginger-Gestrich 14. Dezember 2005

Aufgabe 1Einbettung

Sei F : (1, ∞) → ℝ^{2},

F (t) := (\frac{(t + 1)}{2t} cos(2πt), \frac{(t + 1)}{2t} sin(2πt)).

Skizzieren Sie die Kurve und zeigen Sie, dass F eine Einbettung ist.

Aufgabe 2 Killing-Vektorfelder Auf M = ℝ^{n}, sei ϕ : M → ℝ^{n} die Standard Karte, ϕ(x) = x, und sei \frac{∂}{∂x^{i}} (p) , i = {1, …, n}, die zugehörigen Basis-Vektoren. Sei A = (a_{ij}) ∈ so(n), und X(p) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} · p^{i} · \frac{∂}{∂x^{j}} (p), Y (p) = \frac{∂}{∂x^{1}} (p), und Z(p) = p^{1} \frac{∂}{∂x^{1}} (p) (Bemerkung: so(n) = {A = (a_{ij}) ∈ GL(n, R) : a_{ij} = −a_{ji}, ∀ i, j ∈ {1, …, n}}).

• Zeigen Sie dass X, Y, Z : M → T M C^{∞} sind.

• Bestimmen Sie alle Integralkurven ϕ_{p} : ℝ → M für X, bzw. ψ_{p} : ℝ → M für Y, α_{p} : ℝ → M für Z (Bemerkung: obwohl suppX bzw. suppY, suppZ nicht Kompakt sind, existieren (in diesem Fall) ϕ_{p}, ψ_{p}, α_{p} : ℝ → M für alle t ∈ ℝ, und p ∈ M ).

• Betrachten Sie ϕ_{t} : M → M, ϕ_{t}(x) = ϕ_{x}(t), und zeigen Sie dass ϕ_{t} : M → M, Isometrieen sind, für alle t ∈ ℝ. Ein Vektorfeld X mit dieser Eigenschaft heisst Killing-Vektorfeld. (Siehe Anwesenheitsaufgaben 7 für Hilfe)

• Ist Y ein Killing-Vekotrfeld? Ist Z ein Killing-Vektorfeld? (Begründen Sie Ihre Antwort).

Aufgabe 3 Lokal Fluss Sei M eine n-dimensionale C^{∞}-Mannigfaltigkeit, und ϕ_{p} : (−∞, b) → M, b < ∞ eine maximale Integralkurve für X. Mit maximale Integralkurve, meinen wir dass ϕ_{p} : (−∞, b) → M is eine Glatte Lösung zur

\frac{dϕ_{p}}{dt} (t_{0}) = X(ϕ_{p}(t_{0})), ∀t_{0} ∈ (−∞, b),
ϕ_{p}(0) = p,

und alle andere glatte Lösungen ψ_{p} : (−∞, b̃) → M haben b̃ ≤ b und ψ_{p} = ϕ_{p}|_{(−∞,b̃)}. Zeigen Sie: Sei K ⊂ M Kompakt, dann existiert es ein t_{0} ∈ ℝ so dass ϕ_{p}(t) ∉ K für alle t > t_{0}. Aufgabe 4 Untermannigfaltigkeiten Sei F : M^{m} → N^{n} eine differenzierbare Abbildung mit Rank k fr all p ∈ M.

Zeigen Sie: F^{−1}(q) ist eine (m−k)-dimensionale Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von M (oder ist leer).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 09.12.2003 bis 11:15.