Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie I WS 05/06, Serie 9 Dr. M. Simon, Hannes-Junginger Gestrich 29. Dezember 2005

Aufgabe 1 (Definition von alternierend )

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und ω ∈ T_{s}^{0}(V). Zeigen Sie, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind:

1. ∀w_{1}, …, w_{s} ∈ V gilt ω(w_{1}, … w_{s}) = 0 falls zwei der w_{i} gleich sind.

2. ∀w_{1}, …, w_{s} ∈ V gilt

ω(w_{1}, w_{2}, …, w_{s}) = −ω(w_{1}, …, w_{i−1}, w_{j}, w_{i+1}, …, w_{j−1}, w_{i}, w_{j+1}, …, w_{s}).

3. ∀w_{1}, …, w_{s} ∈ V gilt ω(w_{1}, … w_{s}) = 0 falls {w_{1}, …, w_{s}} linear abhängig sind.

4. ∀w_{1}, …, w_{s} ∈ V, a_{i}^{j} ∈ ℝ, i, j ∈ {1, …, s} gilt ω(f(w_{1}), …, f(w_{s})) = det(a_{i}^{j})ω(w_{1}, …, w_{s}), wobei f(w_{i}) = a_{i}^{j}w_{j}.

Aufgabe 2(Basis für T_{s}^{r}(V)) Ist {v_{1}, …, v_{n}} Basis für V und {α^{1}, …, α^{n}} Basis für V^{∗}, so ist

{v_{i_{1}} ⊗ … ⊗ v_{i_{r}} ⊗ α^{j_{1}} ⊗ α^{j_{s}}|1 ≤ i_{1}, i_{2}, …, i_{r}, j_{1}, …, j_{s} ≤ n}

eine Basis für T_{s}^{r}(V).

Aufgabe 3 (Basis für Λ^{s}(V^{∗})) {α^{1}, …, α^{n}} Basis für V^{∗}, so ist {α^{i_{1}} ∧ α^{i_{2}} ∧ … ∧ α^{i_{n}}|1 ≤ i_{1} < i_{2} < … < i_{s} ≤ n} eine Basis für Λ^{s}(V^{∗}).

Aufgabe 4(Eigenschaften von Alt )

Zeigen Sie:

1. für S ∈ T_{s}^{0}(V), T ∈ T_{l}^{0}(V), mit Alt(S) = 0, gilt Alt(S ⊗ T) = Alt(T ⊗ S) = 0.

2. Alt(Alt(T ⊗ S) ⊗ R) = Alt(T ⊗ S ⊗ R) = Alt(T ⊗ Alt(S ⊗ R)) für S ∈ T_{s}^{0}(V), T ∈ T_{l}^{0}(V), R ∈ T_{r}^{0}(V)

3. für ω ∈ Λ^{s}(V^{∗}), η ∈ Λ^{l}(V^{∗}), θ ∈ Λ^{k}(V^{∗}), gilt

(ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) = \frac{(s + l + k)!}{s!l!k!}Alt(ω ⊗ η ⊗ θ),

und

ω ∧ η = (−1)^{sl}η ∧ ω.

Aufgabe 5 (Alt(Alt) = Alt ) Man zeige:

1. für T ∈ T_{s}^{0}(V) gilt Alt(T) ∈ Λ^{s}(V^{∗}).

2. für ω ∈ Λ^{s}(V^{∗}), gilt Alt(ω) = ω,

Aufgabe 6 (Dachprodukt von 1-Formen) Zeigen Sie: für ω^{1}, …, ω^{k} ∈ Λ^{1}(V^{∗}) = V^{∗} folgende Aussagen:

(1) (ω^{1} ∧ … ∧ ω^{k})(v_{1}, …, v_{k}) = det (ω^{i}(v_{j})).

(2) ω^{1}, …, ω^{k} sind genau dann linear unabhängig, wenn ω^{1} ∧ … ∧ ω^{k} ≠ 0.

Aufgabe 7 (Zerlegbare k-Formen) Eine Form ω ∈ Λ^{k}(V^{∗}) heißt zerlegbar (oder einfach), falls sie als Dachprodukt von 1-Formen darstellbar ist. Beweisen Sie:

(1) Jede k-Form ist zerlegbar, falls dim V^{∗} ≤ 3.

(2) e^{1} ∧ e^{2} + e^{3} ∧ e^{4} ∈ Λ^{2}(ℝ^{4}^{∗}) ist nicht zerlegbar. Dabei sei e^{1}, …, e^{4} die duale Basis zur Standardbasis, also e^{i}(e_{j}) = δ_{j}^{i}.

Aufgabe 8 (Lipschitz-Abhängigkeit des Flusses vom Anfangswert) Betrachte auf der offenen Menge Ω ⊂ ℝ^{n} Lösungen γ_{i} : [0, T] → Ω der beiden Anfangswertprobleme

γ′_{i}(t) = X_{i}(γ_{i}(t)), γ_{i}(0) = p_{i} ∈ Ω (i = 1, 2),

Die X_{i} : Ω → ℝ^{n} seien Lipschitzstetig mit Konstante L < ∞. Beweisen Sie:

|γ_{1}(t) − γ_{2}(t)| ≤ e^{LT} (|p_{1} − p_{2}| + T ∥X_{1} − X_{2}∥_{C^{0}(Ω)}).

Hinweis. Verwenden Sie die Gronwallsche Ungleichung.

Diese Aufgaben sind Freiwillig: Erfolgreich gelöste Aufgaben führen zu Bonuspunkten. Frohe Weinachten und einen guten rutsch. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. den Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 10.1.2006 bis 11:15.