Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 17. Juni 2004

Arbeitsprogramm Lie-Gruppen (freiwillige Abgabe) Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur heißt ndimensionale Liegruppe, wenn die folgenden Abbildungen C^{∞} sind:

G × G → G, (g, h) ↦ gh und G → G, g ↦ g^{−1}.

Wir bezeichnen das neutrale Element der Liegruppe mit e. Aufgabe 1: Verifizieren Sie einige der folgenden Beispiele:

• (ℝ^{n}, +) ist n-dimensionale Liegruppe.

• 𝕋^{n} = ℝ^{n}/ℤ^{n} ist n-dimensionale Liegruppe.

• GL_{n}(ℝ) ist Liegruppe der Dimension n^{2}.

• SO_{n} ist Liegruppe der Dimension n(n − 1)/2.

• U_{n} ist (reelle!) Liegruppe der Dimension n^{2}.

• SU_{2} ≅ 𝕊^{3} ist dreidimensionale Liegruppe. Aufgabe 2: Überlegen Sie, dass für jedes g ∈ G die Links- und Rechtstranslationen

l_{g} : G → G, l_{g}(h) = gh und r_{g} : G → G, r_{g}(h) = hg

Diffeomorphismen von G sind, ebenso die Konjugation

c_{g} = l_{g} ∘ r_{g^{−1}} = r_{g^{−1}} ∘ l_{g} : G → G, c_{g}(h) = ghg^{−1}.

Definition. Ein Vektorfeld X ∈ C^{∞}(T G) heißt linksinvariant, wenn gilt:

Dl_{g} · X = X ∘ l_{g} für alle g ∈ G.

Wir bezeichnen den Raum der linksinvarianten Vektorfelder mit LG. Wir erinnern an folgenden Begriff aus Differentialgeometrie I, Lemma 4.9: das Vektorfeld X ∈ C^{∞}(M) heißt f-verwandt zum Vektorfeld X̃ ∈ C^{∞}(M̃), wobei f : M → M̃, wenn Df · X = X̃ ∘ f. Weiter wurde dort gezeigt: sind X, Y F -verwandt zu X̃, Ỹ, so ist auch [X, Y] F -verwandt zu [X̃, Ỹ]. Aufgabe 3: Folgern Sie die Implikation

X, Y linksinvariant ⇒ [X, Y] linksinvariant Der Raum LG der linksinvarianten Felder auf G bildet also eine Unter-Liealgebra der Liealgebra C^{∞}(T M) aller Vektorfelder auf G.

Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen zueinander inverse Vektorraumisomophismen sind:

T_{e}G → LG, v ↦ X^{v} mit X^{v}(g) = Dl_{g}(e)v,
LG → T_{e}G, X ↦ X(e).

Es ist üblich, LG mit T_{e}G zu identifizieren; damit trägt T_{e}G die Liealgebrastruktur

[v, w] = [X^{v}, X^{w}](e) (v, w ∈ T_{e}G).

Aufgabe 5: Berechnen Sie die Liealgebrastruktur für die Beispiele aus Aufgabe 1.

Aufgabe 6: Sei f : G → H ein Liegruppenhomomorphismus, d.h. f ist glatter Gruppenhomomorphismus. Verifizieren Sie, dass die durch Df(e) induzierte Abbildung Lf : LG → LH ein Liealgebra-Homomorphismus ist, also Lf · [X, Y] = [Lf · X, Lf · Y].

Beweis. Nach Definition ist Lf · X ∈ LH das eindeutig bestimmte linksinvariante Feld mit Lf · X(e) = Df(e)X(e). Wir zeigen zuerst, dass X zu Lf · X f-verwandt ist. Und zwar gilt:

Df(g) · X(g) = D(f ∘ l_{g})(e) X(e) (X linksinvariant)
= D(l_{f(g)} ∘ f)(e) X(e) (da f Gruppenhomomorphismus)
= Dl_{f(g)}(e) Lf · X(e) (da f(e) = e)
= Lf · X(f(g)) (da Lf · X linksinvariant).

Sind nun X, Y ∈ LG, so gilt Df · [X, Y] = [Lf · X, Lf · Y] ∘ f nach Differentialgeometrie I, Lemma 4.9. Damit ist [Lf · X, Lf · Y] linksinvariantes Feld (Aufgabe 3) mit [Lf · X, Lf · Y](e) = Df(e)[X, Y](e), d.h. es gilt Lf · [X, Y] = [Lf · X, Lf · Y].

Aufgabe 7: Überlegen Sie, dass für X ∈ LG der Fluss ϕ^{X} : ℝ × G → G global definiert ist, und dass gilt:

ϕ_{t}^{X} ∘ l_{g} = l_{g} ∘ ϕ_{t}^{X} für alle g ∈ G.

Definition. Die Exponentialabbildung der Liegruppe G ist gegeben durch

exp : LG → G, exp(X) = Φ^{X}(1, e).

Aufgabe 8: Für X ∈ LG ist die Abbildung ℝ → G, t ↦ exp(tX) ein Gruppenhomomorphismus, der als die von X erzeugte Einparameter-Untergruppe bezeichnet wird.

Aufgabe 9: Zeigen Sie Dexp(0) = Id_{LG}. Insbesondere bildet die Exponentialabbildung eine Umgebung von 0 ∈ LG diffeomorph auf eine Umgebung von e ∈ G ab. Aufgabe 10: Zeigen Sie exp(X) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}X^{k} für X ∈ GL_{n}(ℝ). Definition. Die adjungierte Darstellung der Liegruppe G sowie die adjungierte Darstellung der Liealgebra LG sind definiert durch

Ad : G → Aut(LG), Ad(g)X = Dc_{g}(e)X,

ad : LG → End(LG), ad(X) = DAd(e)X.

Wir benötigen nun für alle X, Y ∈ LG folgendes Lemma. \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t} (exp(sX) exp(tY) exp(−sX)) |_{s=0,t=0} = [X, Y]. Beweis. Sei ϕ_{s} der Fluss von X, also ϕ_{s}(e) = exp(sX). Dann gilt:

\frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t} (exp(sX) exp(tY) exp(−sX)) |_{t=0,s=0}

= \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}ϕ_{−s}(exp(sX) exp(tY))|_{t=0,s=0} (da ϕ_{−s}(g) = g exp(−sX), Aufgabe 6)
= \frac{∂}{∂s}Dϕ_{−s}(ϕ_{s}(e)) Dl_{exp(sX)}(e) Y (e)|_{s=0}
= \frac{∂}{∂s}Dϕ_{−s}(ϕ_{s}(e)) Y (ϕ_{s}(e))|_{s=0} (Y linksinvariant)
= \frac{∂}{∂s} ((ϕ_{−s})_{∗}Y) (e)|_{s=0} (Definition pushforward)
= [X, Y] (Differentialgeometrie I, Satz 4.6).

Aufgabe 11: Zeigen Sie folgende Eigenschaften der adjungierten Darstellung:

(1) Ad : G → Aut(LG) ist ein Gruppenhomomorphismus.

(2) Für g ∈ G und X, Y ∈ LG gilt Ad(g)[X, Y] = [Ad(g)X, Ad(g)Y], das heißt Ad(g) ist ein Liealgebra-Homomorphismus (verwenden Sie Aufgabe 6).

(3) ad(X)Y = [X, Y] (verwenden Sie das Lemma).

(4) ad(X)[Y, Z] = [ad(X)Y, Z] + [Y, ad(X)Z] für alle X, Y, Z ∈ LG. Aufgabe 12: Berechnen Sie Ad und ad für die Beispiele aus Aufgabe 1.