Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 1 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 25. April 2004

Aufgabe 1 (Günstige orthonormale Basisfelder) Sei g eine Riemannsche Metrik auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M mit Levi-Civita-Zusammenhang D, und p ∈ M. Konstruieren Sie auf einer Umgebung U von p orthonormale Vektorfelder e_{1}, …, e_{n}, das heißt g(e_{i}, e_{j}) ≡ δ_{ij}, mit

D_{e_{i}}e_{j}(p) = 0 für alle i, j ∈ {1, 2, …, n}.

Aufgabe 2 (Koordinatendarstellung von D auf Tensoren) Sei D der Levi-Civita-Zusammenhang auf der n-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g), mit zugehörigen Christoffelsymbolen Γ_{ij}^{k} bezüglich der Karte φ : U → φ(U) ⊂ ℝ^{n}, x = φ(p). Leiten Sie für einen Tensor

T = ∑_{1≤i_{1},...,i_{s},j_{1},...,j_{r}≤n} T_{i_{1}...i_{s}}^{j_{1}...j_{r}} dx^{i_{1}} ⊗ … dx^{i_{s}} ⊗ \frac{∂}{∂x^{j_{1}}} ⊗ … ⊗ \frac{∂}{∂x^{j_{r}}} ∈ C^{∞}(T^{r,s}M)

die Koordinatendarstellung von D_{X}T her.

Aufgabe 3 (Levi-Civita-Zusammenhang für Warped-Product-Metriken) Seien (M_{i}, g_{i}), i = 1, 2, Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit den kanonischen Zusammenhängen D_{i}. Es bezeichne π_{i} : M = M_{1} × M_{2} → M_{i} die Projektion auf den jeweiligen Faktor. Berechnen Sie den kanonischen Zusammenhang D für die Warped-Product-Metrik g = π_{1}^{∗}g_{1} + (f ∘ π_{1})^{2} π_{2}^{∗}g_{2}, das heißt

g((X_{1}, X_{2}), (Y_{1}, Y_{2})) = g_{1}(p_{1})(X_{1}, , Y_{1}) + f(p_{1})^{2} g_{2}(p_{2})(X_{2}, Y_{2})) für X_{i}, Y_{i} ∈ T_{p_{i}}M_{i}.

Dabei ist f ∈ C^{∞}(M_{1}) mit f > 0 die sogenannte warping Funktion.

Aufgabe 4 (Kovariante Ableitung von J auf Flächen) Sei (M, g) eine orientierte, zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und J ∈ C^{∞}(T^{1,1}M) das eindeutig bestimmte Endomorphismenfeld mit

Je_{1} = e_{2}, Je_{2} = −e_{1}

für eine (und damit jede (!)) positiv orientierte Orthonormalbasis {e_{1}, e_{2}} von T_{p}M. Folgern Sie DJ = 0.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 27.04.2004 bis 9:15.