Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 27. April 2004

Aufgabe 1 (Killing-Felder ^{1}) Ein Vektorfeld Y auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) heißt Killing-Feld, wenn DY schiefsymmetrisch ist, das heißt es gilt:

g(DY · X, X) = 0 für alle X ∈ T M.

Zeigen Sie für eine beliebiges (vollständiges) Vektorfeld Y mit Fluss ϕ : ℝ×M → M, (t, p) ↦ ϕ_{t}(p), und X ∈ T M die Formeln

\frac{D}{dt} (Dϕ_{t} · X) = DY · Dϕ_{t} · X,
\frac{d}{dt} g(Dϕ_{t} · X, Dϕ_{t} · X) = 2 g(DY · Dϕ_{t} · X, Dϕ_{t} · X).

Schliessen Sie: ein vollständiges Vektorfeld ist genau dann Killingfeld, wenn der zugehörige Fluss aus Isometrien besteht. Hinweis: Für 1. betrachten Sie γ(s, t) = ϕ_{t}(c(s)), wobei c(s) Kurve mit c′(0) = X.

Aufgabe 2 (Transformation der Christoffelsymbole unter einen Kartenwechsel) Sei (M, g) eine n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang D. Betrachte zwei Karten ϕ : U → ϕ(U), x = ϕ(p), und ψ : V → ψ(V), y = ψ(p), mit zugehörigen Kartenwechseln F = ψ∘ϕ^{−1} : ϕ(U ∩V) → ψ(U ∩V) beziehungsweise G = F^{−1} : ψ(U ∩ V) → ϕ(U ∩ V). Zeigen Sie:

ψΓ_{ij}^{k}(p) = ∑_{α,β,λ=1}^{n}^{ϕ}Γ_{αβ}^{λ}(p)\frac{∂F^{k}}{∂x^{λ}} (ϕ(p))\frac{∂G^{α}}{∂y^{i}} (ψ(p))\frac{∂G^{β}}{∂y^{j}} (ψ(p))+∑_{λ=1}^{n} \frac{∂F^{k}}{∂x^{λ}} (ϕ(p))\frac{∂^{2}G^{λ}}{∂y^{i}∂y^{j}} (ψ(p)).

Aufgabe 3 (Paralleltranslation längs Breitenkreisen auf S^{2}) Sei c : [0, 2π] → S^{2}, c(φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Berechnen Sie die Paralleltranslation längs c für einen beliebigen Vektor X ∈ T_{c(0)}S^{2}.

Aufgabe 4 (Killingvektorfelder auf S^{n}) Zeigen Sie, dass die n(n + 1)/2 Vektorfelder

X_{ij} = x^{i} \frac{∂}{∂x^{j}} − x^{j} \frac{∂}{∂x^{i}} mit 1 ≤ i < j ≤ n + 1

eine Basis des Vektorraums aller Killing-Felder auf S^{n} bilden.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 04.05.2004 bis 9:15.

1W.Killing, 1847-1923, Bonner Mathematiker