Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 2 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 7. Mai 2004

Aufgabe 1 (Symmetrien und Erhaltungsgrößen)

(a) Sei X Killingfeld auf (M, g) (siehe Aufgabe 1, Serie 2) und c : I → M eine

Geodätische. Dann gilt

g(c′, X ∘ c) = const.

(b) Sei M ⊂ ℝ^{3} eine Rotationsfläche. Sei M ⊂ ℝ^{3} eine Rotationsfläche. Ist c eine Kurve auf M, so sei ϕ(t) der Winkel im Punkt c(t) zwischen der Kurve c und dem durch c(t) verlaufenden Rotationskreis, und r(t) der Abstand von c(t) zur Rotationsachse. Zeigen Sie mit Hilfe von (a): Ist c eine Geodätische, so ist r(t) cos ϕ(t) konstant.

Aufgabe 2 (Geodätisch konvexe Funktionen) Eine Funktion f : (M, g) → ℝ heißt geodätisch konvex, wenn f ∘ γ : I → ℝ konvex ist für alle Geodätischen γ : I → M. Zeigen Sie:

(i) Ist f geodätisch konvex und γ : [a, b] → M Geodätische, so gilt

f(γ(s)) ≤ \frac{s − a}{b − a} f(γ(b)) + \frac{b − s}{b − a} f(γ(a)) für alle s ∈ [a, b].

(ii) f ∈ C^{2}(M) ist genau dann geodätisch konvex, wenn D^{2}f(p) : T_{p}M ×T_{p}M → ℝ positiv semidefinit ist für alle p ∈ M.

(iii) Eine geodätisch konvexe Funktion auf 𝕊^{n} ist konstant.

Aufgabe 3 (Geodätische im n-dimensionalen hyperbolischen Raum ) Berechnen Sie die Geodätischen im hyperbolischen Raum, für das obere-Halbraum-Modell

ℍ^{n} = (\{x ∈ ℝ^{n} : x^{n} > 0\}, \frac{1}{(x^{n})^{2}} ∑_{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}).

Hinweis: Es ist leicht zu sehen, dass die Gruppe SL_{2}(ℝ) isometrisch auf ℍ^{2} operiert durch gebrochen-lineare Transformationen.

Aufgabe 4 (Geodätische mit freiem Endpunkt auf einer Untermannigfaltigkeit) Sei N ⊂ (M, g) Untermannigfaltigkeit und γ_{0} : [a, b] → M glatte Kurve. Es gelte

\frac{d}{dt}E(γ(·, t))|_{t=0} = 0

für alle Variationen γ : [a, b] × (−ε, ε) → M von γ_{0} = γ(·, 0) mit γ(a, t) = γ_{0}(a) und γ(b, t) ∈ N für alle t ∈ (−ε, ε). Zeigen Sie: γ_{0} ist Geodätische mit γ′(b) ⊥ T_{γ_{0}(b)}N.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 11.05.2004 bis 9:15.