Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 4 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 11. Mai 2004

Aufgabe 1 (Distanzfunktionen) Eine Funktion f : M → ℝ mit ∥grad_{g} f∥_{g} ≡ 1 heißt Distanzfunktion. Zeigen Sie:

(a) Integralkurven von grad_{g} f sind Geodätische.

(b) Für eine stückweise C^{1}-Kurve c von p nach q gilt L_{g}(c) ≥ f(q) − f(p), mit Gleichheit genau dann wenn c Integralkurve von grad_{g} f ist.

Aufgabe 2 (Eigentliche Immersionen ) Eine Immersion f : M → N heißt eigentlich, wenn f^{−1}(K) kompakt ist für alle kompakten K ⊂ N. Zeigen Sie:

(a) Für eine Untermannigfaltigkeit M ⊂ N ist die Inklusionsabbildung eigentlich.

(b) Ist (N, h) vollständig und M zusammenhängend, so ist M mit der induzierten Riemannschen Metrik g = f^{∗}h vollständig.

Aufgabe 3 (Vollständigkeit homogener Räume ) Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt homogener Raum, wenn die Isometriegruppe G transitiv auf M operiert. Folgern Sie, dass (M, g) vollständig ist.

Aufgabe 4 (Exponentialabbildung von ℍ^{n}) Für x, y ∈ ℝ^{n+1} sei ⟨x, y⟩_{L} = −x^{0}y^{0}+∑_{i=1}^{n} x^{i}y^{i}. Das Minkowski-Modell des hyperbolischen Raums ist ℍ^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} : x^{0} > 0, ⟨x, x⟩_{L} = −1}, mit der Riemannschen Metrik g(X, Y) = ⟨X, Y ⟩_{L} (vgl. Diffgeo I, Serie 13, Aufgabe 2).

(a) Zeigen Sie, dass SO^{+}(1, n) isometrisch und transitiv auf dem Einheitstangentialbündel {X ∈ T ℍ^{n} : ⟨X, X⟩_{L} = 1} operiert.

(b) Berechnen Sie in diesem Modell die Exponentialabbildung von ℍ^{n}.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 18.05.2004 bis 9:15.