Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 5 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 23. Mai 2004

Anwesenheitsübung(Riemannsche Überlagerungen) Sei π : (M̃, g̃) → (M, g) lokale Isometrie zwischen zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten, und (M̃, g̃) sei vollständig. Zu p ∈ M sei r > 0 so gewählt, dass exp_{p} : B_{r}(0) → B_{r}(p) diffeomorph ist. Beweisen Sie:

π^{−1}(B_{r}(p)) = ⋃_{p̃∈π^{−1}{p}} B_{r}(p̃) (disjunkte Vereinigung).

Bemerkung. Also ist π eine Überlagerung (π ist surjektiv nach Satz 2.6 der Vorlesung). Aus dem Abbildungsliftungssatz folgt: ist M einfach zusammenhängend, so ist π eine (globale) Isometrie.

Aufgabe 1 (Kürzeste in flachen Tori) Sei ℝ^{2}/Γ ein flacher Torus, wobei Γ = ℤ · e_{1} ⊕ ℤ · τ mit τ ∈ M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≥ 1, 0 ≤ x ≤ \frac{1}{2}, y ≥ 0\} (vgl. Diffgeo 1, Beispiel 7.6). Bestimmen Sie für v ∈ ℝ^{2} mit |v| = 1 die maximale Länge σ(v) ∈ (0, ∞), so dass die Geodätische

c : [0, σ(v)] → ℝ^{2}/Γ, c(s) = [p + sv],

kürzeste Verbindung ihrer Endpunkte ist. Hinweis. Der Fall eines Rechtecktorus, also τ = te_{2} mit t ≥ 1, ist einfach.

Aufgabe 2 (Vollständiges, nichtkompaktes Beispiel mit endlichem Volumen) Konstruieren Sie eine nichtkompakte, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit endlichem Volumen, zum Beispiel in Dimension 2.

Aufgabe 3 (Geodätische Strahlen) Sei (M, g) vollständige, nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine Geodätische γ : [0, ∞) → (M, g) heißt Strahl, wenn gilt:

d(c(s_{1}), c(s_{2})) = L_{g}(c|_{[s_{1},s_{2}]}) für alle 0 ≤ s_{1} < s_{2} < ∞.

Konstruieren Sie zu p ∈ M einen Strahl γ mit γ(0) = p.

Aufgabe 4 (Vollständige Metriken) Seien g, h Riemannsche Metriken auf einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M. Es gebe eine Konstante C > 0 mit g ≥ C h. Begründen Sie: ist (M, h) geodätisch vollständig, so auch (M, g).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 25.05.2004 bis 9:15.