Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 6 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 29. Mai 2006

Anwesenheitsübung (Riemannsche Überlagerungen) Sei π : (M̃, g̃) → (M, g) lokale Isometrie zwischen zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeiten, und (M̃, g̃) sei vollständig. Zu p ∈ M sei r > 0 so gewählt, dass exp_{p} : B_{r}(0) → B_{r}(p) diffeomorph ist. Beweisen Sie:

π^{−1}(B_{r}(p)) = ⋃_{p̃∈π^{−1}{p}} B_{r}(p̃) (disjunkte Vereinigung).

Bemerkung. Also ist π eine Überlagerung (π ist surjektiv nach Satz 2.6 der Vorlesung). Aus dem Abbildungsliftungssatz folgt: ist M einfach zusammenhängend, so ist π eine (globale) Isometrie.

Aufgabe 1 (Nichtglatte Quotienten) Ist die Operation einer kompakten Liegruppe G auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M nicht frei, so muss der Quotient keine topologische Mannigfaltigkeit sein. Finden Sie ein Beispiel.

Aufgabe 2 (Irrationale Translationen) Betrachten Sie die Operation

ℝ × ℝ^{2} → ℝ^{2}, t · (x, y) = (x + t, y + bt) für b ∈ ℝ.

Zeigen Sie, dass eine glatte und freie Operation auf dem Torus 𝕋^{2} = ℝ^{2}/ℤ^{2} induziert wird, dass aber im Fall b ∈ ℝ\ℚ der Quotientenraum nicht Hausdorffsch ist.

Aufgabe 3 (Geodätische und Untermannigfaltigkeiten) Sei M ⊂ (N, g) eine zusammenhängende Untermannigfaltigkeit. Zeigen Sie:

(a) Ist γ : [a, b] → M Geodätische in N, so auch in M.

(b) Es gebe eine Isometrie f : (N, g) → (N, g) mit M = {p ∈ N : f(p) = p}. Folgern Sie, dass M total geodätisch ist: jede Geodätische in M ist sogar Geodätische in N.

Aufgabe 4 (Quotientenräume) Geben Sie Homeomorphismen (mit Nachweis) an:

(a) 𝕊^{2n+1}/𝕊^{1} ≅ ℂP^{n}, wobei 𝕊^{1} auf 𝕊^{2n+1} durch (e^{it}, z) ↦ e^{it}z operiert.

(b) SO_{n}/SO_{n−1} ≅ 𝕊^{n−1}, wobei SO_{n−1} als die Isotropiegruppe von e_{n} aufgefasst wird, das heißt SO_{n−1} = {S ∈ SO_{n} : Se_{n} = e_{n}}.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 01.06.2004 bis 9:15.