Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 7 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 17. Juni 2004

Aufgabe 1 (Gruppenoperationen und Abbildungen) Die Liegruppe G operiere frei und eigentlich auf X, und H : X → Y sei differenzierbar. Zeigen Sie:

(a) Gilt H(g · x) = H(x) für alle g ∈ G, x ∈ X, so induziert H eine glatte Abbildung h : X/G → Y.

(b) Operiert G auch frei und eigentlich auf Y und gilt H(g · x) = g · H(x) für alle g ∈ G, x ∈ X, so induziert H eine glatte Abbildung h : X/G → Y/G.

Aufgabe 2 (Abstand in ℂP^{n}) Berechnen Sie für z, w ∈ 𝕊^{2n+1} den Riemannschen Abstand d(p, q) der Punkte p = π(z) und q = π(w) in ℂP^{n}.

Aufgabe 3 (Veronese-Einbettung) Die Abbildung F : 𝕊^{2n+1} → ℂ^{(n+1)×(n+1)} sei definiert durch

F (z) = \frac{1}{\sqrt{2}} p_{z} mit p_{z}(w) = (w, z)z = ⟨w, z⟩z + ⟨w, iz⟩iz.

Das Standardskalarprodukt auf ℂ^{(n+1)×(n+1)} ist gegeben durch

⟨A, B⟩ = Re tr(B^{∗}A) für A, B ∈ ℂ^{(n+1)×(n+1)}.

Zeigen Sie, dass F eine Einbettung f : ℂP^{n} → ℂ^{(n+1)×(n+1)} induziert, die bezüglich des Standardskalarprodukts isometrisch ist. Zeigen Sie weiter, dass f in folgende Sphäre S der Dimension (n + 1)^{2} − 2 abbildet:

S = \{A ∈ ℂ^{(n+1)×(n+1)} : A^{∗} = A, tr(A) = 1/\sqrt{2}, |A| = 1/\sqrt{2}\}.

Bemerkung. Der Mittelpunkt der Sphäre ist \frac{1}{\sqrt{2}(n+1)}E_{n+1}, der Radius ist \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}.

Aufgabe 4 (Die Untermannigfaltigkeiten ℂP^{k} ⊂ ℂP^{n}) Zeigen Sie, dass für k ∈ {1, …, n − 1} die Spiegelung

T : 𝕊^{2n+1} → 𝕊^{2n+1}, T (z^{1}, …, z^{k+1}, z^{k+2}, …, z^{n+1}) = (z^{1}, …, z^{k+1}, −z^{k+2}, …, −z^{n+1})

eine Isometrie von ℂP^{n} induziert. Folgern Sie mit Aufgabe 3, Serie 6, dass die Untermannigfaltigkeit ℂP^{k} ⊂ ℂP^{n} total geodätisch ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 15.06.2004 bis 9:15.