Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 8 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 23. Juni 2004

Aufgabe 1 (Die Schnittkrümmung bestimmt den Krümmungstensor) Sei R der Krümmungstensor von (M, g) und K(X, Y) := R(X, Y, Y, X). Zeigen Sie die Formel

−6 R(X, Y, Z, W) = \frac{∂^{2}}{∂s ∂t}|_{s,t=0} (K(X + sZ, Y + tW) − K(X + sW, Y + tZ)).

Der Krümmungstensor kann also aus der Schnittkrümmung berechnet werden.

Aufgabe 2 (Divergenzfreiheit des Einsteintensors) Der Einsteintensor einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) ist G = Ric− \frac{1}{2}S_{g} g. Zeigen Sie mit der 2. Bianchi-Identität: D^{∗}G = 0.

Aufgabe 3 (Krümmungsoperator und Ricci-Krümmung in Dimension 3) Der Krümmungsoperator R ∈ C^{∞}(End(Λ_{2}T M)) von (M, g) ist definiert durch

g(R(X ∧ Y), Z ∧ W) = R(X, Y, W, Z) für alle X, Y, Z, W ∈ C^{∞}(T M).

Im Fall dim(M) = 3 existiert eine Orthonormalbasis {v_{1}, v_{2}, v_{3}} von T_{p}M, so dass R(p) bzgl. der Basis {v_{1} ∧ v_{2}, v_{1} ∧ v_{3}, v_{2} ∧ v_{3}} Diagonalgestalt hat (wieso?):

R(p) = ( \begin{matrix}K_{12} & 0 & 0 \\ 0 & K_{13} & 0 \\ 0 & 0 & K_{23} \end{matrix} ) .

Zeigen Sie bezüglich {v_{1}, v_{2}, v_{3}} die Matrixdarstellung

Ric(p) = ( \begin{matrix}K_{12} + K_{13} & 0 & 0 \\ 0 & K_{12} + K_{23} & 0 \\ 0 & 0 & K_{13} + K_{23} \end{matrix} ) .

Aufgabe 4 (Krümmungstensor von ℍ^{n}) Zeigen Sie: ℍ^{n} hat konstante Schnittkrümmung gleich −1.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 29.06.2004 bis 9:15.