Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 04, Serie 9 Prof. Dr. E. Kuwert, Dr. M. Simon 30. Juni 2004

Aufgabe 1 (Total geodätische Immersionen) Eine isometrische Immersion f : (M, g) → (M̃, g̃) heißt total geodätisch, wenn gilt:

γ : I → (M, g) Geodätische ⇒ f ∘ γ : I → (M̃, g̃) Geodätische.

Zeigen Sie, dass f genau dann total geodätisch ist, wenn die zweite Fundamentalform A verschwindet.

Aufgabe 2 (Liegruppen mit biinvarianter Metrik) Sei ⟨·, ·⟩ biinvariante Riemannsche Metrik auf der Liegruppe G, das heißt die Linksbzw. Rechtstranslationen l_{g} bzw. r_{g} sind Isometrien. Die linksinvarianten Vektorfelder werden durch die Identifikation LG ≅ T_{e}G zu einem Skalarproduktraum. Zeigen Sie für X, Y, Z, W ∈ LG folgende Aussagen:

(a) Die adjungierte Darstellung Ad : G → Aut(LG) ist orthogonal:

⟨Ad(g)X, Ad(g)Y ⟩ = ⟨X, Y ⟩.

(b) Die adjungierte Darstellung ad : LG → End(LG) ist schiefsymmetrisch:

⟨ad(X)Y, Z⟩ + ⟨Y, ad(X)Z⟩ = 0.

(c) ⟨X(g), Y (g)⟩ ≡ ⟨X(e), Y (e)⟩ für alle g ∈ G.

(d) D_{X}Y = \frac{1}{2} [X, Y] (verwenden Sie Formel (1.2) für den Levi-Civita Zusammenhang sowie die Gleichung [X, Y] = ad(X)Y, siehe Liegruppen, Aufgaben 11).

(e) R(X, Y, Z, W) = −\frac{1}{4} ⟨[X, Y], [Z, W]⟩ (insbesondere R(X, Y, Y, X) ≥ 0).

Bemerkung. Eine biinvariante Metrik existiert zum Beispiel auf jeder kompakten Liegruppe G.

Aufgabe 3 (Clifford-Torus) Berechnen Sie zweite Fundamentalform und Krümmung der induzierten Metrik für

f : ℝ^{2}/(2πℤ)^{2} → 𝕊^{3} ⊂ ℝ^{4}, f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^{ix}, e^{iy}).

Überlegen Sie, dass f eine Minimalfläche in 𝕊^{3} ist, das heißt H⃗ ≡ 0.

Aufgabe 4 (Minimale Untermannigfaltigkeiten in ℝ^{n}) Sei f : M → ℝ^{n} eine Immersion mit induzierter Metrik g = f^{∗}⟨·, ·⟩ und mittlerem Krümmungsvektor H⃗ : M → ℝ^{n}. Zeigen Sie:

H⃗ = Δ_{g}f.

Folgern Sie, dass M nicht kompakt sein kann, wenn f minimale Immersion ist. Anleitung: Betrachten Sie die Funktion u = \frac{1}{2} |f|^{2}.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf jedes Lösungsblatt. Abgabe am Dienstag, 06.07.2004 bis 9:15.