Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 1 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 28. April 2006

Aufgabe 1 Fortsetzung eines Vektorfeldes Sei M^{m} ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n}, und Y ein glattes Vektorfeld auf M. Zeigen Sie: Für alle p ∈ M existiert eine offene Menge (bezüglich ℝ^{n} ) p ∈ U ⊂ ℝ^{n}, und ein glattes Vektorfeld Ỹ auf U so dass: Ỹ |_{U∩M} = Y.

Aufgabe 2 Wohldefiniertheit des induzierten Zusammenhanges

Sei M ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n}, Y ein glattes Vektorfeld auf M, p ∈ M, und X_{p} ∈ T_{p}M ⊂ T_{p}ℝ^{n}. Mann Zeige:

(a) ∇_{X_{p}}^{ℝ^{n}} Ỹ hängt nicht von der Wahl der Forsetzung Ỹ ab.

(b) ∇_{X_{p}}^{M}Y ist ℝ linear in X_{p} und Y.

(c) Für f : U ⊂ M → ℝ ∈ C^{∞}(U, ℝ) gilt

∇_{X_{p}}^{M}(fY) = X_{p}(f)Y (p) + f(p)∇_{X_{p}}^{M}Y.

Aufgabe 3 Kovariante Ableitung und Kurven, die zu Vektorfelder passen

Sei ∇ ein beliebiger Zussamenhang auf einer Mannigfaltigkeit M. Zeigen Sie: ∇_{X_{p}}Y ist nur von X_{p} und den Werten von Y auf einer beliebigen Kurve γ, die zu X_{p} passt, abhängig.

Aufgabe 4 Eigenschaften von ∇^{M}

Sei M ⊂ ℝ^{n} eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n}, und ∇^{M} wie in der Vorlesung. Mann Zeige:

(a) ∇_{X}^{M}Y − ∇_{Y}^{M}X = [X, Y].

(b) X(⟨Y, Z⟩) = ⟨∇_{X}^{M}Y, Z⟩ + ⟨Y, ∇_{X}^{M}Z⟩.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 02.05.2006 bis 9:15.