Übungsaufgaben zur Differentialgeometrie II SS 6, Serie 9 Dr. M. Simon, Hannes Junginger-Gestrich 14. Juli 2006

Aufgabe 1(Der Levi-Cevita Zussamenhang eine Riemannscher Immersion ) Sei f : (M, g) → (M̃, g̃) eine Isometrische Immersion. Zeigen Sie: der Levi-Cevita Zussamenhang auf (M, g) ist durch

g∇_{X}Y = Df^{−1}((^{g}∇_{Df(X)}D̃f(Y))^{T})

gegeben, wobei D̃f(Y) eine beliebige lokale Fortsetzung des Vektorfeldes Df(Y) ist.

Hinweis: zeigen Sie dass ^{g}∇_{X}Y ein Zusammenhang ist, der (4) und (5) von Proposition 1.11 erfüllt.

Aufgabe 2 (Darstellung der Zweite Fundamentalform ) Man Zeige, dass wenn man die Werten A(x)(Z(x), Z(x)) für alle Z(x) ∈ T_{x}M kennt, dann kann man A(x)(X(x), Y (x)) für beliebige X(x), Y (x) ∈ T_{x}M ausrechnen.

Aufgabe 3 (Prinzipal Richtungen der Zweite Fundamentalform ) Sei f : (M^{m}, g) → (M̃^{m+1}, g̃) eine Isometrische Immersion. Zeigen Sie, dass für alle x ∈ M existiert eine Orthonormal Basis {τ_{1}(x), …, τ_{m}(x)} von T_{x}M und reele Werte κ_{1}(x), …, κ_{m}(x) ∈ ℝ so dass

A_{0}(x)(τ_{i}(x), τ_{j}(x)) = δ_{ij}κ_{i}(x).

Der Wert

H(x) := k_{1}(x) + … + k_{m}(x),

ist unabhängig von der Wahl der Orthonormal Basis. H(x) ist der Mittlere Krümmung in x.

Aufgabe 4 (Zweite Fundamentalform einer Rotationssymmetrische Fläche ) Sei f : ℝ × S^{1} → ℝ^{3} die Einbettung f(r, α) := (r, ψ(r)l(α)), wobei S^{1} := {(y, z) ∈ ℝ^{2}|y^{2} + z^{2} = 1}, und l : S^{1} → ℝ^{2} ist l((y, z)) := (y, z), und ψ : ℝ → (0, ∞) eine C^{∞} Funktion ist. Berechnen Sie H((x, α)).

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer bzw. der Tag Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, 04.07.2006 bis 9:15.